Vizualizacija prostora Lobacevskog - Alas
Vizualizacija prostora Lobacevskog - Alas Vizualizacija prostora Lobacevskog - Alas
Slika 2.1: Aksioma paralelnosti u Klajnovom modelu2.2 Veza Klajnovog modela sa projektivnom geometrijomPosmatrajmo sada Klajnov model kao restrikciju projektivnog prostora na unutrašnjostjedinične sfere. Jednačina sfere jex 2 + y 2 + z 2 = 1,odnosno, kada predemo na homogene koordinatex 2 1 + x 2 2 + x 2 3 − x 2 4 = 0Izometrije modela K moraju da čuvaju jedničnu sferu i rastojanje d k , pa moraju da čuvajui dvorazmeru. Preslikavanja koja čuvaju dvorazmeru su projektivna preslikavanja, pa semože reći da su izometrije Klajnovog modela projektivna preslikavanja koja čuvaju sferux 2 1 + x 2 2 + x 2 3 − x 2 4 = 0.2.3 Skalarni proizvod MinkovskogPrethodno razmatranje nas motiviše da na prostoru R 4 uvedemo nestandardni skalarniproizvod〈X, Y 〉 = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 − x 4 y 4 = X T JY,gde je J matrica skalarnog proizvoda⎡J =⎢⎣1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 −1Primetimo da ovaj skalarni proizvod nije definitan i da postoje vektori čiji je kvadratnorme negativan. Prostor R 4 sa ovako zadatim skalarnim proizvodom naziva se prostorMinkovskog i označava sa R 3,1 . U njemu posmatrajmo ”sferu” (hiperboloid)S 3,1 = {X ∈ R 2,1 | ‖X‖ 2 = −1} = { (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) | x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 − x 2 4 = −1}Izometrije prostora R 3,1 su bijekcije koje čuvaju ”sferu” S 3,1 .5⎤⎥⎦
Slika 2.2: ”Sfera” S 3,1Napomena: Zbog nemogućnosti predstavljanja objekata u četiri dimenzije, na slikamau ovom poglavlju su skicirani trodimenzioni objekti. Primetimo da se sva razmatranjaanalogno uopštavaju na proizvoljan broj dimenzija.2.4 Hiperboloidni modelHiperboloidni model prostora Lobačevskog je gornja hiperpovrš ”sfere” S 3,1 , Zato udaljem tekstu kada se kaže sfera (hiperboloid) S 3,1 misli se na gornju hiperpovrš te sfere:x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 − x 2 4 = −1, x 4 > 0.Tačke ovog modela su tačke sfere S 3,1 , prave su geodezijske linije na sferi, odnosnohiperbole koje se dobijaju u preseku sfere S 3,1 i hiperravni koje sadrže koordinatnipočetak. Skalarni proizvod Minkovskog indukuje metriku na hiperboloidnom modeluds 2 h = dx 2 1 + dx 2 2 + dx 2 3 − dx 2 4.Pronadimo sada funkciju rastojanja u modelu S 3,1 .Neka su X, Y proizvoljne tačke hiperboloidnog modela. Izometrijama ovog modela onese mogu preslikati u tačke ˜X, Ỹ ravni O x 1 , x 4:˜X = (x 1 , 0, 0, x 4 ),Ỹ = (y 1 , 0, 0, y 4 ).6
- Page 3: ApstraktVizualizacija kao način da
- Page 6 and 7: UvodTema vizualizacije prostora Lob
- Page 8 and 9: 1 Geometrija LobačevskogOd kada je
- Page 12 and 13: Slika 2.3: Izometrijama hiperboloid
- Page 14 and 15: Pokažimo najpre da jednakost važi
- Page 16 and 17: Slika 2.8: Izometrija Klajnovog i P
- Page 18 and 19: Diferenciranjem prethodne jednačin
- Page 20 and 21: 3.2.1 Poluprostorni modelVideli smo
- Page 22 and 23: i označimo sa O. U zavisnosti od m
- Page 24 and 25: vidljivosti (slika 4.9). Sve tačke
- Page 26 and 27: Slika 4.13: Projekcija duži Lobač
- Page 28 and 29: 4.3 Projekcija poliedaraU ovom pogl
- Page 30 and 31: Primer: Projekcija dodekaedra kada
- Page 32 and 33: Primer: Projekcija dodekaedra kada
- Page 34 and 35: 4.3.3 OktaedarPrimer: Projekcija ok
- Page 36 and 37: Primer: Projekcija oktaedra kada se
- Page 38 and 39: 4.3.4 IkosaedarPri projekciji ikosa
- Page 40 and 41: Primer: Projekcija ikosaedra kada s
- Page 42 and 43: Primer: Projekcija kocke kada se o
- Page 44 and 45: Primer: Projekcija kocke kada se o
- Page 46 and 47: Primer: Projekcija kocke kada se o
- Page 48 and 49: 5 Izometrije Klajnovog modela, pred
- Page 50 and 51: 5.2 TranslacijaPredstavimo translac
- Page 52 and 53: 5.5 Primeri kretanja poliedaraU ovo
- Page 54 and 55: 5.5.2 RotacijaPrimer: Rotacija kock
- Page 56 and 57: Primer2: Oriciklička rotacija dode
- Page 58 and 59: 5.5.4 Zavojno kretanjePrimer: Zavoj
Slika 2.1: Aksioma paralelnosti u Klajnovom modelu2.2 Veza Klajnovog modela sa projektivnom geometrijomPosmatrajmo sada Klajnov model kao restrikciju projektivnog <strong>prostora</strong> na unutrašnjostjedinične sfere. Jednačina sfere jex 2 + y 2 + z 2 = 1,odnosno, kada predemo na homogene koordinatex 2 1 + x 2 2 + x 2 3 − x 2 4 = 0Izometrije modela K moraju da čuvaju jedničnu sferu i rastojanje d k , pa moraju da čuvajui dvorazmeru. Preslikavanja koja čuvaju dvorazmeru su projektivna preslikavanja, pa semože reći da su izometrije Klajnovog modela projektivna preslikavanja koja čuvaju sferux 2 1 + x 2 2 + x 2 3 − x 2 4 = 0.2.3 Skalarni proizvod MinkovskogPrethodno razmatranje nas motiviše da na prostoru R 4 uvedemo nestandardni skalarniproizvod〈X, Y 〉 = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 − x 4 y 4 = X T JY,gde je J matrica skalarnog proizvoda⎡J =⎢⎣1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 −1Primetimo da ovaj skalarni proizvod nije definitan i da postoje vektori čiji je kvadratnorme negativan. Prostor R 4 sa ovako zadatim skalarnim proizvodom naziva se prostorMinkovskog i označava sa R 3,1 . U njemu posmatrajmo ”sferu” (hiperboloid)S 3,1 = {X ∈ R 2,1 | ‖X‖ 2 = −1} = { (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) | x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 − x 2 4 = −1}Izometrije <strong>prostora</strong> R 3,1 su bijekcije koje čuvaju ”sferu” S 3,1 .5⎤⎥⎦
Change language