SIMETRIˇCNE NORME - Odjel za matematiku

Sveučilište J.J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematikuPreddiplomski studij matematikeMišo SavanovićSIMETRIČNE NORMEZavršni radOsijek, 2010.

Sveučilište J.J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematikuPreddiplomski studij matematikeMišo SavanovićSIMETRIČNE NORMEZavršni radVoditelj: doc.dr.sc. Kristian SaboOsijek, 2010.

Sažetak. U ovom radu pročavat ćemo norme na prostoru matrica koje su invarijantne s obziromna množenje unitarnima. Vidjet ćemo koja je njihova veza s odredenim funkcijama na prostoruR n koje nazivamo simetrične izmjerive funkcije.Ključne riječi. norma, simetrične izmjerive funkcije, Hölderova nejednakost, Cauchy-Schwarzovanejednakost, nejednakost Minkowskog, skalarni umnožak, dual, Q-norma, unitarna invarijantnost,norma operatora, Hilbertov prostor, Schattenova p-norma, Ky Fan norma, Frobeniusovanorma, slabo unitarno invarijantna normaAbstract. In this paper we will study norms on the space of matrices that are invariant undermultiplication by unitaries. We will see what is their connection with a certain type of functionson R n , so called symmetric gauge functions.Keywords. norm, symmetric gauge functions, Hölder inequality, Cauchy-Schwarz inequality,Minkowski inequality, inner product, dual, Q-norm, unitary invariance, operator norm, Hilbertspace, Schatten p-norm, Ky Fan norm, Frobenius norm, weakly unitarily invariant norms.

Sadržaj1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Norme na C n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1 Simetrične izmjerive funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Izvedene nejednakosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Unitarno invarijantne norme operatora na C n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.1 Primjeri unitarno invarijantnih normi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2 Nejednakosti za unitarno invarijantne norme . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3 Duali na prostoru unitarno invarijantnih normi . . . . . . . . . . . . . . 163.4 Slabo unitarno invarijantna norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

1 UvodU ovom radu proučavat ćemo neka svojstva unitarno invarijantnih normi koje su usko povezanes takozvanim simetričnim izmjerivim funkcijama koje ćemo definirati u prvom dijelu teksta.Osim toga, pokazat ćemo na koji način se izvedu nejednakosti koje imaju široku primjenu umatematičkoj analizi. Vidjet ćemo da nejednakosti za sume i produkte singularnih vrijednostimatrice, kada se kombiniraju s nejednakostima za simetrične izmjerive funkcije, daju zanimljiverezultate vezane za unitarno invarijantne norme.Vidjet ćemo i kako konstrukcijom simetričnih izmjerivih funkcija dolazimo do raznih unitarnoinvarijantnih normi na prostoru kvadratnih matrica. Jedna od njih je i Frobeniusova, vrlo korisnau numeričkoj linearnoj algebri.Definirat ćemo simetrične norme i pokazati da vrijedi da je norma simetrična ako i samo ako jeunitarno invarijantna.Takoder ćemo definirati pojam dualnosti koja je na prostoru unitarno invarijantnih normi definiranapomoću skalarnog produkta.5

2 Norme na C nVektorska norma na C n je preslikavanje ‖·‖ : C n → R koje zadovoljava:(i) ‖x‖ ≥ 0 ∀x ∈ C n i ‖x‖ = 0 akko x = 0(ii) ‖αx‖ = |α|‖x‖, ∀α ∈ C(iii) ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖, ∀x, y ∈ C.Za vektor x = (x 1 , . . . , x n ) definiramo‖x‖ p =( n∑i=1|x i | p ) 1p, 1 ≤ p < ∞‖x‖ ∞ = max1≤i≤n |x i|.Za svaki 1 ≤ p ≤ ∞, ‖x‖ p definira normu na C n . Takve norme zovu se p-norme ili l p -norme.Primjetimo da vrijedi ‖x‖ ∞ = limp→∞‖x‖ p .Tako definirana familija normi ima neka lijepa svojstva:(I.1.) ‖x‖ p = ‖|x|‖ p , ∀x ∈ C n(I.2.) ‖x‖ p ≤ ‖y‖ p ako je |x| ≤ |y|(I.3.) ‖x‖ p = ‖P x‖ p , ∀x ∈ C n , P ∈ S nGdje je S n skup permutacijskih matrica.Norma koja zadovoljava svojstvo (I.1.) naziva se apsolutna norma.Kažemo da je norma koja zadovoljava (I.2.) monotona, a ako zadovoljava (I.3.) nazivamo jusimetrična norma.Prva dva svojstva su ekvivalentna što nam govori sljedeća propozicija.Propozicija 1.1. Norma na C n je apsolutna ako i samo ako je monotona.Dokaz. Monotonost očito povlači apsolutnost. Obratno, ako uzmemo da je norma apsolutna,onda je dovoljno pokazati da je ‖x‖ ≤ ‖y‖ čim je x j = t j y j za neke realne 0 ≤ t j ≤ 1,j = 1, . . . , n. Nadalje, dovoljno je uzeti u obzir samo poseban slučaj kada su svi t j osim jednogajednaki 1.Tako dobivamo‖ (y 1 , . . . , ty k , . . . , y n ) ‖ = ‖ ( 1+t2 y 1 + 1−t2 y 1, . . . , 1+t2 y k − 1−t2 y k, . . . , 1+t2 y n + 1−t≤ 1+t2 ‖ (y 1, . . . , y n ) ‖ + 1−t2 ‖ (y 1, . . . , −y k , . . . , y n ) ‖ = ‖ (y 1 , . . . , y n ) ‖.2 y n)‖6

Primjer 1.2.(i) ‖x‖ = |x 1 | + |x 2 | + |x 1 − x 2 |(ii) ‖x‖ = |x 1 | + |x 1 − x 2 |(iii) ‖x‖ = 2|x 1 | + |x 2 |Prva norma na R 2 je simetrična, ali nije apsolutna. Druga nije niti simetrična niti apsolutna,dok treća nije simetrična, ali je apsolutna. Kako bi izgledala norma(funkcija) koja je ujedno isimetrična i apsolutna? Takve funkcije nazivamo simetrične izmjerive funkcije.2.1 Simetrične izmjerive funkcijePreslikavanje Φ : R n → R + zovemo simetrična izmjeriva funkcija ako(i) Φ je norma(ii) Φ (P x) = Φ (x) , ∀x ∈ R n i P ∈ S n(iii) Φ (ε 1 x 1 , . . . , ε n x n ) = Φ (x 1 , . . . , x n ) ako je ε j = ±1(iv) Φ (1, 0, . . . , 0) = 1 (dodatna pretpostavka).Uvjete (ii) i (iii) možemo izreći zajedno tako da kažemo da je Φ invarijantna na permutacije ipromjene predznaka.Kao primjer možemo navesti funkciju Φ (k) (x) =k∑|x j | kod koje za koordinate od x vrijedi|x 1 | ≥ |x 2 | ≥ . . . ≥ |x n |, uz k = 1, . . . , n. Primjetimo, ako tu funkciju označimo s ‖x‖ (k) , vrijedi‖x‖ (1) = ‖x‖ ∞ i ‖x‖ (n) = ‖x‖ 1 .j=17

(n∑n∑) 1 ( ) 1p qn∑Ako je Φ = Φ (n) , (II) se reducira na Hölderovu nejednakost |x i y i | ≤ |x i | p |y i | q .i=1i=1i=1Nejednakost (II) ćemo zvati Hölderova nejednakost za simetrične izmjerive funkcije.Specijalni slučaj za p = 2 zvat će se Cauchy-Schwarzova nejednakost za takve funkcije.Teorem 1.4. Neka je Φ bilo koja simetrična izmjeriva funkcija i neka je p > 1. Tada za svex, y ∈ R n vrijedi [Φ (|x + y| p )] 1 p ≤ [Φ (|x| p )] 1 p + [Φ (|y| p )] 1 p . (III)Dokaz. Kada je p = 1, nejednakost (III) je posljedica nejednakosti trokuta za apsolutnu vrijednostna R n i za normu Φ. Neka je p > 1. Dovoljno je razmotriti slučaj kada je x ≥ 0, y ≥ 0.Tako dobijemo (x + y) p = x · (x + y) p−1 + y · (x + y) p−1 .Sada, koristeći nejednakost trokuta za Φ i Teorem 1.3. dobivamo:Φ ((x + y) p ) ≤ Φ ( x · (x + y) p−1) + Φ ( y · (x + y) p−1) ≤[Φ (x p )] 1 p[Φ((x + y) q(p−1))] 1 q+ [Φ (y p )] 1 p[Φ((x + y) q(p−1))] 1 q{[Φ (x p )] 1 p + [Φ (y p )] 1 p } [Φ ((x + y) p )] 1 q .Kako je q (p − 1) = p ako podijelimo obje strane nejednakosti s [Φ ((x + y) p )] 1 q , dobijemo (III).=Opet, ako je Φ = Φ (n) nejednakost (III) reducira se na poznatu nejednakost Minkowskog pa(III) zovemo nejednakost Minkowskog za simetrične izmjerive funkcije.Neka je Φ simetrična izmjeriva funkcija i neka je p ≥ 1. Označimo s Φ (p) (x) = [Φ (|x| p )] 1 p .Funkciju Ψ zovemo kvadratično simetrična izmjeriva funkcija ili Q-norma, ako je Ψ = Φ (2) zaneku simetričnu izmjerivu funkciju Φ, tj Ψ (x) = [Φ (|x| 2 )] 1 2.2.3 DualSkalarni umnožak na C n je preslikavanje 〈·, ·〉 : C n × C n → C koje zadovoljava:a) 〈x, x〉 ∈ R + za sve x ∈ C n i 〈x, x〉 = 0 ako i samo ako je x = 0b) 〈x, y〉 = 〈y, x〉 za sve x, y ∈ C nc) 〈x, αy〉 = α〈x, y〉 za sve α ∈ C, x, y ∈ C nd) 〈x, y + z〉 = 〈x, y〉 + 〈x, z〉 za sve x, y, z ∈ C n .9

Primjer. Standardni skalarni umnožak dan je s 〈x, y〉 =n∑x j y j , za svaki x, y ∈ C n .Ako je Φ norma na C n , dual od Φ definira se kao Φ ′ (x) = sup |〈x, y〉|.Φ(y)=1j=1Funkcija Φ ′ je takoder norma.Ako je Φ simetrična izmjeriva funkcija, onda je i Φ ′ takva.Za bilo koju normu Φ vrijedi |〈x, y〉| ≤ Φ(x)Φ ′ (y), za sve x, y Neka je Φ p l p -norma, 1 ≤ p ≤ ∞.Tada je Φ ′ p = Φ q , gdje je 1 p + 1 q = 1Neka su Φ i Ψ norme takve da vrijedi Φ(x) ≤ cΨ(x) za sve x i za neki c > 0,Tada je Φ ′ (x) ≥ c −1 Ψ ′ (x) za svaki x. (*)Ako je Φ dual Q-norme onda ju nazivamo Q’-normom.Na primjer, l p -norme za 1 ≤ p ≤ 2 su Q’-norme.Neka je Φ norma takva da je Φ = Φ ′ . Tada Φ mora biti Euklidska norma.Ako je Φ ujedno i Q-norma i Q ′ -norma, tada je Φ Euklidska norma.To se može pokazati pomoću (*) i činjenice da je svaka simetrična izmjeriva funkcija ograničenas l 1 -normom.10

3 Unitarno invarijantne norme operatora na C nU ovom poglavlju pokazat ćemo vezu izmedu unitarno invarijantnih normi i funkcija Φ izprošlog poglavlja. Ta veza ostvarena je pomoću singularnih vrijednosti.Ako je A linearni operator na C n , s ‖A‖ označavamo normu operatora A definiranu s‖A‖ = sup ‖Ax‖.‖x‖=1Ekvivalentne definicije operatorske norme ‖A‖ :(i) = inf{c : ‖Ax‖ ≤ c‖v‖ za sve x ∈ C n }(ii) = sup{‖Ax‖ : x ∈ C n uz ‖x‖ ≤ 1}(iii) = sup{ ‖Ax‖‖x‖ : x ∈ Cn uz x ≠ 0}.Operatorska norma zadovoljava uvjete norme :(i) ‖A‖ ≥ 0 i ‖A‖ = 0 ako i samo ako je A = 0(ii) ‖aA‖ = |a|‖A‖ za svaki skalar a(iii) ‖A + B‖ ≤ ‖A‖ + ‖B‖.Hilbertov prostor je potpun vektorski prostor snabdjeven sa skalarnim produktom.Neka je H Hilbertov prostor sa skalarnim produktom 〈·, ·〉. Neka je A : H → H neprekidnilinearni operator. Tada postoji jedinstveni operator A ∗ : H → H takav da vrijedi 〈Ax, y〉 =〈x, A ∗ y〉 za sve x, y ∈ H. Zovemo ga adjungirani operator operatora A.Svojstva adjungiranog operatora:(i) A ∗∗ = A(ii) Ako je A invertibilan, onda je i A ∗(iii) (A + B) ∗ = A ∗ + B ∗(iv) (λA) ∗ = λ ∗ A ∗ , λ ∗ je kompleksno konjugirani λ(v) (AB) ∗ = B ∗ A ∗(vi) Ako definiramo operatorsku normu od A s ‖A‖ = sup{‖Ax‖ : ‖x‖ ≤ 1} onda je ‖A ∗ ‖ =‖A‖ i takoder ‖A ∗ A‖ = ‖A‖ 2 11

Singularne vrijednosti operatora su drugi korijeni svojstvenih vrijednosti operatoraT ∗ T : X → X gdje je T : X → Y operator izmedu Hilbertovih prostora X i Y , a T ∗ predstavljaadjungirani operator operatora T .Označimo s |A| pozitivni operator (A ∗ A) 1 2 i sa s(A) vektor čije koordinate su singularne vrijednostiod A uredene tako da vrijedi s 1 (A) ≥ s 2 (A) ≥ . . . ≥ s n (A).Tada vrijedi ‖A‖ = ‖|A|‖ = s 1 (A).Unitarni operator je linearni operator U : H → H na Hilbertovom prostoru H koji zadovoljavaU ∗ U = UU ∗ = ISada, ako su U i V unitarni operatori na C n , tada je |UAV | = V ∗ |A|V i ‖A‖ = ‖UAV ‖ za sveunitarne operatore U, V .Zadnje svojstvo zove se unitarna invarijantnost.S ||| · ||| označavat ćemo normu n × n matrica koje zadovoljavaju |||UAV ||| = |||A|||, za sve unitarneU i V . Tu normu zvat ćemo unitarno invarijantna norma na prostoru n × n matricaM(n).Teorem 2.1. Neka je dana simetrična izmjeriva funkcija Φ na R n , definiramo funkciju na M(n)|||A||| Φ = Φ(s(A)). Tada je ovako definirana unitarno invarijantna norma ||| · ||| na M(n).Obratno, za bilo koju unitarno invarijantnu normu ||| · ||| na M(n), definiramo funkcijuΦ |||·||| (x) = |||diag(x)||| (I), gdje je diag(x) dijagonalna matrica s x 1 , . . . , x n na dijagonali. Tadaje Φ simetrična izmjeriva funkcija na R n .Dokaz. Zbog s(UAV ) = s(A) za sve unitarne U i V , ||| · ||| Φ je unitarno invarijantna.Dokazat ćemo nejednakost trokuta, a ostala svojstva se lagano dobiju.Za sve A, B ∈ M(n) vrijedi s(A + B) ≺ w s(A) + s(B),k∑ k∑(a, b ∈ R n , a ≺ w b ako a ↓ i ≥ za k = 1, . . . , n, a vektor a ↓ ima iste komponente kao ai=1i=1b ↓ isamo u opadajućem poretku.)Uz činjenicu da je Φ monotona dobivamo da vrijedi nejednakost trokuta.Obratno, (I) jasno daje normu na R n . Pošto su dijagonalne matrice oblika diag(e iθ 1, . . . , e iθn )i permutacijske matrice unitarne, ta norma je apsolutna i invarijantna na permutacije, to jestsimetrična izmjeriva funkcija.12

3.1 Primjeri unitarno invarijantnih normiPogledajmo neke važnije unitarno invarijantne norme koje proizlaze iz simetričnih izmjerivihfunkcija.Schattenova p-norma definira se s[ n∑] 1p‖A‖ p = Φ p (s(A)) = (s j (A)) p , 1 ≤ p < ∞,j=1‖A‖ ∞ = Φ ∞ (s(A)) = s 1 (A) = ‖A‖.Ky Fanova k-norma:k∑‖A‖ (k) = s j (A), 1 ≤ k ≤ n.j=1Medu p-normama, one za p = 1, 2, ∞ se najčesće koriste.‖A‖ ∞ je ekvivalentna operatorskoj normi ‖A‖ i Ky Fanovoj normi ‖A‖ (1) .Norma ‖A‖ 1 je isto što i ‖A‖ (n) što je jednako tr(|A|).Hilbert-Schmidtova[ili Frobeniusova norma:n∑] 12‖A‖ 2 = (s j (A)) 2 , koja se često označava s ‖A‖ F .j=1Ako uzmemo A, B ∈ M(n), 〈A, B〉 = trA ∗ B definira skalarni produkt na M(n) i norma vezanauz taj produkt je ‖A‖ 2 , tj ‖A‖ 2 = (trA ∗ A) 1 2 .( ) 1∑2Ako matrica A ima elemente a ij , onda je ‖A‖ 2 = |a ij | 2 pa možemo reći da je ‖A‖ 2i,jEuklidska norma matrice A ako ju se smatra elementom iz C n2 .Ky Fanova norma najviše je značajna zbog sljedećeg teorema.Teorem 2.2. Neka su A, B dvije n × n matrice. Ako je ‖A‖ (k) ≤ ‖B‖ (k) za k = 1, 2, . . . , n,tada je |||A||| ≤ |||B||| za sve unitarno invarijantne norme.Dokaz. To je posljedica odgovarajuće tvrdnje o simetrično izmjerivim funkcijama.Pošto je Φ (1) (x) ≤ Φ(x) ≤ Φ (n) (x) za sve x ∈ R n i za sve simetrične izmjerive funkcije Φ, imamo‖A‖ ≤ |||A||| ≤ ‖A‖ (n) = ‖A‖ 1 za sve A ∈ M(n) i za sve unitarno invarijantne norme ||| · |||.13

Analogno propoziciji 1.2. imamo :Propozicija 2.3. Za svaki k = 1, 2, . . . , n vrijedi.‖A‖ (k) = min{‖B‖ (n) + k‖C‖ : A = B + C}.Dokaz. Ako je A = B + C, onda je ‖A‖ (k) ≤ ‖B‖ (k) + ‖C‖ (k) ≤ ‖B‖ (n) + k‖C‖.Sada neka je s(A) = (s 1 , . . . , s n ) i izaberemo unitarne U i V tako da jeNeka jeTada jeA = U [(diag(s 1 , . . . , s n )] V .B = U [diag(s 1 − s k , s 2 − s k , . . . , s k − s k , 0, . . . , 0)] V ,C = U [diag(s k , s k , . . . , s k+1 , . . . , s n ] V .‖B‖ (n) =A = B + C,k∑s j − ks k = ‖A‖ (k) − ks k ,j=1‖C‖ = s k ,i‖A‖ (k) = ‖B‖ (n) + k‖C‖.Za normu ν na M(n) kažemo da je simetrična ako za A, B, C ∈ M(n) vrijedi ν(BAC) ≤‖B‖ν(A)‖C‖.Propozicija 2.2. Norma na M(n) je simetrična ako i samo ako je unitarno invarijantna.Dokaz. Ako je ν simetrična norma, tada za unitarne U, V imamo ν(UAV ) ≤ ν(A) iν(A) = ν(U −1 UAV V −1 ) ≤ ν(UAV ) pa je ν unitarno invarijantna.Obratno, vrijedi s j (BAC) ≤ ‖B‖‖C‖s j (A) za sve j = 1, 2, . . . , n. Tako da, ako je Φ bilo kojasimetrična izmjeriva funkcija, vrijedi Φ(s(BAC)) ≤ ‖B‖‖C‖Φ(s(A)) i norma vezana uz funkcijuΦ je simetrična.Posebno, to povlači da je svaka unitarno invarijantna norma sub-multiplikativna:|||AB||| ≤ |||A||| · |||B|||, za sve A, B.14

3.2 Nejednakosti za unitarno invarijantne normeTeorem 2.3. Ako su A, B n × n matrice, tada vrijedi s r (AB) ≺ w s r (A)s r (B), za sve r > 0.Korolar 2.4. Za svaku unitarno invarijantnu normu i za sve A, B ∈ M(n) vrijedi|||AB||| ≤ |||(|A| p )||| 1 p |||(|A| q )||| 1 q , za sve p > 1 i1p + 1 q = 1.Dokaz. Samo uzmemo specijalni slučaj prethodnog teorema za r = 1 i dobijemo Φ(s(AB)) ≤Φ(s(A)s(B)) za svaku simetrično izmjerivu funkciju. Iskoristimo teorem 1.3. i činjenicu da je(s(A)) p = s(|A| p ).Ovaj korolar nazivamo Hölderova nejednakost za unitarno invarijantne norme.1Neka su p, q, r pozitivni realni brojevi za koje vrijedi + 1 = 1 . Tada za svaku unitarnop q rinvarijantnu normu vrijedi|||(|AB| r )||| 1 r ≤ |||(|A| p )||| 1 p |||(|B| q )||| 1 q .Ako izaberemo p = q = 1, dobivamo |||(|AB| 1 2 )||| ≤ (|||A||| · |||B|||) 1 2 .To je Cauchy-Schwarzova nejednakost za unitarno invarijantne norme.Unitarno invarijantna norma na M(n) zove se Q-norma ako odgovara kvadratičnoj simetričnojizmjerivoj funkciji; tj ||| · ||| je Q-norma ako i samo ako postoji unitarno invarijantna norma||| · ||| ∧ takva da je |||A||| 2 = |||A ∗ A||| ∧ .Za ovako definirane Q-norme, neka ‖ · ‖ Q označava Q-normu. Sljedeće tvrdnje su ekvivalentne:(i) ‖A‖ Q ≤ ‖B‖ Q za sve Q-norme(ii) |||A ∗ A||| ≤ |||B ∗ B||| za sve unitarno invarijantne norme(iii) ‖A‖ (2)(k) ≤ ‖B‖(2) (k)(iv) (s(A)) 2 ≺ w (s(B)) 2 ., za k = 1, 2, . . . , n15

3.3 Duali na prostoru unitarno invarijantnih normiDualnost na prostoru unitarno invarijantnih normi je definirana na sljedeći način:Ako je ||| · ||| unitarno invarijantna norma, |||A||| ′ = |〈A, B〉| = |trA ∗ B|.Ovako definirana norma je opet unitarno invarijantna.sup|||B|||=1sup|||B|||=1Propozicija 2.5. Neka je Φ simetrična izmjeriva funkcija na R n i neka je ‖ · ‖ Φ odgovarajućaunitarno invarijantna norma na M(n). Tada je ‖ · ‖ ′ Φ = ‖ · ‖ Φ ′Dokaz. Zbog svojstva traga i Teorema 2.3. imamo |trA ∗ B| ≤ tr|A ∗ B| =n∑s j (A)s j (B).j=1Slijedi ‖A‖ ′ Φ ≤ Φ′ (s(A)) = ‖A‖ Φ′.n∑Obratno, ‖A‖ Φ′ = Φ ′ (s(A)) = sup{ s j (A)y j : y ∈ R n , Φ(y) = 1}j=1= sup{tr[diag(s(A))diag(y)] : ‖diag(y)‖ Φ = 1} ≤ ‖diag(s(A))‖ ′ Φ = ‖A‖ ′ Φ.n∑s j (A ∗ B) ≤j=1Iz onoga što smo u prošlom poglavlju rekli o dualima, sada možemo zaključiti da vrijedi:(i) |trA ∗ B| ≤ |||A||| · |||B||| ′ , za svaku unitarno invarijantnu normu(ii) ‖A‖ ′ p = ‖A‖ q , za 1 ≤ p ≤ ∞, 1 + 1 = 1p q(iii) ‖A‖ ′ (k) = max{‖A‖ (1), 1 k ‖A‖ (n)}, 1 ≤ k ≤ n(iv) Jedina unitarno invarijantna norma koja je sama svoj dual je Frobeniusova norma ‖ · ‖ 2(v) Jedina norma koja je Q-norma, a ujedno i dual neke Q-norme je norma ‖ · ‖ 2 .Duale Q-normi zvat ćemo Q’-norme.16

3.4 Slabo unitarno invarijantna normaPromotrimo sljedeće brojeve vezane uz n × n matrice:(i) |trA| = | ∑ jλ j (A)|(ii) sprA = max1≤j≤n |λ j(A)|, spektralni radijus od A(iii) w(A) = max |〈x, Ax〉|, numerički radijus od A‖x‖=1Od ovih, prva funkcija je seminorma (norma, ali je moguće dobiti 0 za ne-nul vektor), ali nijenorma na M(n). Druga nije seminorma, a treća je norma.Sve tri funkcije imaju jedno svojstvo invarijantnosti: ne mijenjaju se djelovanjem unitarnihkonjugacija.To jest, transformacijama oblika A → UAU ∗ , U unitarna, ove funkcije se ne mijenjaju.Normu τ na M(n) zvat ćemo slabo unitarno invaijantna ako vrijedi τ(A) = τ(UAU ∗ ), zasve A ∈ M(n), U ∈ U(n), gdje je U(n) skup svih unitarnih matrica n × n.Neki primjeri slabo unitarno invarijantnih normi:(i) C-numerički radijus definiran za matricu C, w C (A) = maxU∈U(n) |trCUAU ∗ |, A ∈ M(n).(ii) τ(A) = ‖A‖ + |trA|(iii) Neka je m(A) bilo koja norma na M(n), tada je takva funkcija i τ(A) = maxU∈U(n) m(UAU ∗ )17

Bibliografija[1] R.Bhatia, Matrix analysis[2] N. Truhar, Numerička linearna algebra (interna skripta Odjela za matematiku)[3] Wikipedia, http://en.wikipedia.org/wiki/Hermitian[4] Wikipedia, http://en.wikipedia.org/wiki/Norm[5] H. Kraljević, S. Kurepa, Matematička analiza 4, funkcije kompleksne varijable[6] http://www.math.sinica.edu.tw/, Hilbert Space18