Uvod u vjerojatnost i matematicku statistiku - vjezbe -

Poglavlje 15χ 2 -testNapomena 15.1. (Postupak testiranja χ 2 -testom)Neka je N ∈ N broj mjerenja nekog statističkog obilježja X te neka su x 1 , . . . , x N rezultatimjerenja. Želimo na osnovu rezultata mjerenja ispitati pretpostavku da obilježje Xima odredenu distribuciju. Postavljamo hipotezu o distribuciji F obilježja X nasuprothipotezi da obilježje X nema distribuciju F :H 0 : X ∼ FH 1 : X ≁ F(nulta hipoteza)(alternativna hipoteza)(1) Sliku od X podijelimo na disjunktne skupove (razrede) A i , i = 1, . . . , n (X(Ω) =A 1 ∪ . . . ∪ A n ) te za izabrani uzorak x 1 , . . . , x N odredimo empirijske frekvencijef 1 , . . . , f n (f i = broj elemenata uzorka x 1 , . . . , x N koji se nalaze u A i ). Pri tomese pazi da je n što veći, ali da istodobno u svakom razredu A i bude najmanje 5elemenata (tj. f i 5, i = 1, . . . , n), inače spajamo razrede.(2) Izračunamo vrijednosti p i = P H0 (X ∈ A i ) = P (X ∈ A i ) (i = 1, . . . , n) uz pretpostavkuda je nulta hipoteza točna (tj. uz pretpostavku da slučajna varijabla Xima distribuciju F ), te izračunamo teorijske frekvencije f ′ 1, . . . , f ′ n (f ′ i = N · p i ).(3) Odredimo veličinuχ 2 =n∑ (f i − f i) ′ 2.i=1Tada vrijedi χ 2 ≈ χ 2 (n − r − 1), tj. χ 2 ima približno χ 2 -razdiobu s n − r − 1stupnjeva slobode, gdje je r broj nepozantih parametara pretpostavljenog zakonarazdiobe od X, koje smo procijenili iz uzorka. 1f ′ i1N1 Često se iz uzorka procjenjuju očekivanje i varijanca po formulama ̂µ = x 1 + . . . + x NNN∑(x i − ̂µ) 2 .i=1i ̂σ 2 =48