Uvod u vjerojatnost i matematicku statistiku - vjezbe -

45DZ 14.11. Kolika je vjerojatnost da u Zadatku 14.10. najveći element uzorka bude većiod 4?Zadatak 14.12. Izračunajte vjerojatnost da točno 3 elementa jednostavnog slučajnoguzorka duljine 5 iz populacije s obilježjem X koje ima gustoćubudu pozitivna.f(x) = 1 2 (x + 1)K (−1,1)(x), x ∈ R,Napomena 14.3. Pretpostavimo da su X i Y dva obilježja na istoj populaciji. Ako se izpopulacije uzme slučajni uzrok duljine n i ako se kod svakog elementa uzorka registrirajuvrijednosti obilježja X i Y , dobije se niz od n uredenih parova realnih brojeva:(x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), . . . , (x n , y n ),gdje je x i vrijednost obilježja X, a y i vrijednost obilježja Y na i-tom elementu uzorka.Ako se parovi (x 1 , y 1 ), . . . , (x n , y n ) prikažu grafički u x, y-ravnini, dobije se nakupinatočaka koja se zove dijagram raspršenja.Definicija 14.13. Metoda najmanjih kvadrata je metoda pridruživanja pravcay r (x) = ax + b nakupini točaka (x 1 , y 1 ), . . . , (x n , y n ) tako da veličinaS(a, b) =n∑(y i − ax i − b) 2i=1ima najmanju vrijednost. Pravac dobiven na ovaj način zovemo pravac regresije odY u odnosu na X.Napomena 14.4. Neka su u uzorku duljine n registrirane vrijednosti obilježja X i Y ineka je dobivena n-torka uredenih parova (x 1 , y 1 ), . . . , (x n , y n ). Uvodimo oznake:x = 1 nn∑x i , y =i=1n∑y i ,i=1σ 2 x = 1 nn∑(x i − x) 2 , σy 2 = 1 ni=1n∑(y i − y) 2 .i=1DZ 14.14. Pokažite da vrijede sljedeće formule:σ 2 x = 1 nn∑x 2 i − x 2 ,i=1σ 2 y = 1 nn∑yi 2 − y 2 .i=1