Uvod u vjerojatnost i matematicku statistiku - vjezbe -

41(b) 0.99.Zadatak 13.4. Neka je X ∼ N(0, 1). Izračunajte:(a) P (X −1.64);(b) P (−1.96 X 1.96);(c) P (|X| 1).DZ 13.5. Alatni stroj proizvodi odredene proizvode. Na temelju brojnih mjerenja zapaženoje da je duljina X gotovih proizvoda normalna slučajna varijabla za koju je µ = 20 cm iσ = 0.2 cm. Odredite vjerojatnost da će se duljina slučajno izabranog gotovog proizvodanalaziti u granicama od 19.7 cm do 20.3 cm.DZ 13.6. Neka je X ∼ N(2, 9). Odredite P (X 2 > 3).Teorem 13.7. (Centralni granični teorem za Bernoullijevu shemu)Neka je X ∼ B(n, p). Za velike n, X je približno normalna slučajna varijabla sparametrima np i npq (q = 1 − p), tj. za velike n vrijedi(P a X √ − np ) b ≈ 1 ∫ b√ e − x22 dx (a < b).npq2πTeorem 13.8. (Lévyjev centralni granični teorem)Neka je (X n ) niz nezavisnih, jednako distribuiranih slučajnih varijabli (tj. slučajne varijableX 1 , X 2 , . . . imaju jednaku distribuciju) s očekivanjem µ i varijancom σ 2 > 0 1 in∑neka je S n = X i (n ∈ N). Tada vrijedii=1(lim P a S n − nµ)n→∞ σ √ n b = 1√2π∫ baae − x22 dx = Φ(b) − Φ(a) (a < b).Zadatak 13.9. Pretpostavimo da u nekom gradu imamo 200 000 automobila. Neka jeprosječna potrošnja benzina po automobilu tjedno µ = 50 litara sa standardnim odstupanjemσ = 8 litara. Da li je dovoljno tjedno osigurati 10 000 000 litara benzina pa dane bude nestašice?Zadatak 13.10. Proizvodnja meda u sezoni po jednoj košnici iznosi 4 kg sa standardnimodstupanjem 0.5 kg. Koliko košnica treba imati da bi s vjerojatnošću 0.97 ukupnaproizvodnja meda bila barem 800 kg?DZ 13.11. Broj automobila koji produ kroz jedno križanje tijekom jedne minute jeslučajna varijabla s Poissonovom razdiobom P (6). Kolika je vjerojatnost da će tijekom2 sata kroz križanje proći barem 700 automobila?1 Vrijedi: EX 1 = EX 2 = . . . = µ i VarX 1 = VarX 2 = . . . = σ 2 .