Uvod u vjerojatnost i matematicku statistiku - vjezbe -

Poglavlje 12Matematičko očekivanje i varijancaneprekidnih slučajnih varijabliDefinicija 12.1. Neka je X neprekidna slučajna varijabla s gustoćom f. Matematičkoočekivanje (ili kraće očekivanje) od X, u oznaci EX, definiramo saEX =∫ +∞−∞tf(t) dt,ako taj integral postoji. Varijancu od X, u oznaci VarX, definiramo saVarX =∫ +∞−∞(t − EX) 2 f(t) dt,ako taj integral postoji (uz pretpostavku da postoji i EX).Napomena 12.1.(1) Ako neprekidna slučajna varijabla X ima varijancu, tada vrijediVarX = EX 2 − (EX) 2 .(2) Neka je X neprekidna slučajna varijabla te g : R → R Borelova funkcija. Tadavrijediako taj integral postoji.E[g(X)] =∫ +∞−∞g(t)f(t) dt,Zadatak 12.2. Izračunajte očekivanje i varijancu slučajne varijable s uniformnom razdiobom.DZ 12.3. Neka je X ∼ Exp (λ). Dokažite da je EX = 1 λ i VarX = 1 λ 2 .38