Uvod u vjerojatnost i matematicku statistiku - vjezbe -

37(8) Slučajna varijabla X ima Studentovu t-distribuciju s n stupnjeva slobode (n ∈N) ako joj je gustoća dana saOznaka: X ∼ t (n).f(x) = √ 1 n+1 Γ( · ) (2nπ Γ( n) 21 + x2n) −n+12, x ∈ R.(9) Slučajna varijabla X ima beta-distribuciju s parametrima p i q (p, q > 0) akojoj je gustoća dana saf(x) = xp−1 (1 − x) q−1K (0,1) (x), x ∈ R,B(p, q)gdje je B(x, y) =B(p, q).∫ 10t x−1 (1 − t) y−1 dt (x, y > 0) beta-funkcija.Oznaka: X ∼Zadatak 11.7. Pokažite da su uniformna i eksponencijalna distribucija dobro definirane.DZ 11.8. Pokažite da su dvostruka eksponencijalna i Cauchyjeva distribucija dobrodefinirane.Zadatak 11.9. Neprekidna slučajna varijabla X zadana je svojom gustoćomOdredite:(a) konstantu A;(b) funkciju distribucije od X;((c) P 0 X < 1 ).2f(x) = Ax 2 e −2x K [0,+∞) (x), x ∈ R.DZ 11.10. Odredite konstantu B ∈ R tako da funkcijaf(x) = Bx 2 K [0,2] (x), x ∈ R,bude funkcija gustoće neke neprekidne slučajne varijable, koju označimo s X. Odreditei funkciju distribucije od X te izračunajte P (X ∈ [0, 1]).