Uvod u vjerojatnost i matematicku statistiku - vjezbe -

35Definicija 11.5. Neka je X slučajna varijabla na vjerojatnosnom prostoru (Ω, F, P ).Kažemo da je X (apsolutno) neprekidna slučajna varijabla ako postoji nenegativnaBorelova funkcija f : R → R + tako da vrijediF X (x) =∫ x−∞f(t) dt, x ∈ R. 3Funkciju f zovemo funkcija gustoće (ili samo gustoća) od X.Napomena 11.2. Neka je X neprekidna slučajna varijabla s funkcijom gustoće f. Tadavrijedi:∫(1) P (X ∈ B) = f(t) dt, B ∈ B;B(2) F X ′ = f (na otvorenom intervalu);(3) P (X = x) = 0 za svaki x ∈ R.Propozicija 11.6. Neka je f : R → R Borelova funkcija. Da bi f bila funkcija gustoćeneke neprekidne slučajne varijable, nužno je i dovoljno da vrijedi:(1) f(x) 0 za svaki x ∈ R;(2)∫ ∞−∞f(x) dx = 1.Primjer 11.3. (Osnovne neprekidne slučajne varijable)(1) Slučajna varijabla X ima uniformnu distribuciju na segmentu [a, b], a < b, akojoj je gustoća dana sa⎧f(x) = 1⎨ 1b − a K [a,b](x) = b − a , a x b , x ∈ R. 4⎩0, inačeOznaka: X ∼ U(a, b).∫3 Ovdje bi zapravo trebao stajati Lebesgueov integral F X (x) =(−∞,x]f(t) dλ(t), ali kako navedenipojam prelazi izvan okvira ovog kolegija te ćemo mi raditi samo sa neprekidnim slučajnim varijablamakod kojih se Lebesgueov integral poklapa s Riemannovim, zadržati ćemo (nepravi) Riemannov integralu Definiciji 11.5.4 K A je karakteristična funkcija skupa A, definirana sa K A (x) ={ 1, x ∈ A0, x ≠ A .