Uvod u vjerojatnost i matematicku statistiku - vjezbe -

Poglavlje 11Neprekidne slučajne varijableU ovom ćemo poglavlju prvo definirati slučajne varijable na proizvoljnom vjerojatnosnomprostoru pa ćemo pažnju obratiti na neprekidne slučajne varijable.Definicija 11.1. Neka jeU = {U ⊆ R : U je otvoreni skup}familija svih otvorenih podskupova od R. σ-algebru generiranu familijom U, tj. najmanjuσ-algebru koja sadrži familiju U zovemo Borelova σ-algebra i označujemo je sa B =σ(U). 1 Elemente σ-algebre B zovemo Borelovi skupovi.Definicija 11.2. Neka je (Ω, F, P ) vjerojatnosni prostor. Funkcija X : Ω → R jestslučajna varijabla (na Ω) ako je X −1 (B) ∈ F za svaki B ∈ B.Definicija 11.3. Funkcija g : R → R jest Borelova funkcija ako je g −1 (B) ∈ B zasvaki B ∈ B.Napomena 11.1. Svaka neprekidna funkcija : R → R je Borelova. Takoder, svaka rastuća(ili padajuća) funkcija g : R → R je Borelova. Odavde slijedi da nisu sve Borelovefunkcije neprekidne. 2Definicija 11.4. Neka je X slučajna varijabla na vjerojatnosnom prostoru (Ω, F, P ).Funkcija distribucije slučajne varijable X je funkcija F X : R → [0, 1] definiranasaF X (x) = P (X x), x ∈ R.1 Može se pokazati da σ-algebra { B postoji te da je jednaka presjeku svih σ-algebri koje sadrže U.0, x < 02 Naprimjer, funkcija g(x) = je Borelova, iako nije neprekidna.1, x 134