Uvod u vjerojatnost i matematicku statistiku - vjezbe -
Uvod u vjerojatnost i matematicku statistiku - vjezbe -
Uvod u vjerojatnost i matematicku statistiku - vjezbe -
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Poglavlje 11Neprekidne slučajne varijableU ovom ćemo poglavlju prvo definirati slučajne varijable na proizvoljnom vjerojatnosnomprostoru pa ćemo pažnju obratiti na neprekidne slučajne varijable.Definicija 11.1. Neka jeU = {U ⊆ R : U je otvoreni skup}familija svih otvorenih podskupova od R. σ-algebru generiranu familijom U, tj. najmanjuσ-algebru koja sadrži familiju U zovemo Borelova σ-algebra i označujemo je sa B =σ(U). 1 Elemente σ-algebre B zovemo Borelovi skupovi.Definicija 11.2. Neka je (Ω, F, P ) vjerojatnosni prostor. Funkcija X : Ω → R jestslučajna varijabla (na Ω) ako je X −1 (B) ∈ F za svaki B ∈ B.Definicija 11.3. Funkcija g : R → R jest Borelova funkcija ako je g −1 (B) ∈ B zasvaki B ∈ B.Napomena 11.1. Svaka neprekidna funkcija : R → R je Borelova. Takoder, svaka rastuća(ili padajuća) funkcija g : R → R je Borelova. Odavde slijedi da nisu sve Borelovefunkcije neprekidne. 2Definicija 11.4. Neka je X slučajna varijabla na vjerojatnosnom prostoru (Ω, F, P ).Funkcija distribucije slučajne varijable X je funkcija F X : R → [0, 1] definiranasaF X (x) = P (X x), x ∈ R.1 Može se pokazati da σ-algebra { B postoji te da je jednaka presjeku svih σ-algebri koje sadrže U.0, x < 02 Naprimjer, funkcija g(x) = je Borelova, iako nije neprekidna.1, x 134