Uvod u vjerojatnost i matematicku statistiku - vjezbe -

Poglavlje 10Funkcije izvodniceDefinicija 10.1. Neka je X cjelobrojna slučajna varijabla, tj. slučajna varijabla kojaprima samo nenegativne cjelobrojne vrijednosti. Stavimo p k = P (X = k), k ∈ N ∪ {0}.Funkciju g definiranu sag(z) =∞∑p k z k = p 0 + p 1 z + p 2 z 2 + . . . , z ∈ R, |z| 1k=0zovemo funkcija izvodnica od X i označavamo je sa g X .Propozicija 10.2. Ako cjelobrojna slučajna varijabla X ima konačnu varijancu, tadaje njena funkcija izvodnica g dva puta diferencijabilna u točki z = 1 i vrijediEX = g ′ (1), VarX = g ′′ (1) + g ′ (1) − [g ′ (1)] 2 .Teorem 10.3. Neka su X 1 , . . . , X n nezavisne cjelobrojne slučajne varijable. Stavimon∑S n = X k . Tada vrijedik=1n∏g Sn (z) = g Xk (z).k=1Zadatak 10.4. Bacamo tri simetrične kocke (nezavisno).suma brojeva koji su pali na kockama biti jednaka 9.Nadite vjerojatnost da ćeZadatak 10.5. Bacamo nesimetričnan novčić sve dok ne padne (prvi put) glava. Označimosa X broj pisama koji su pali do prvog pada glave. Nadite EX i VarX.Napomena 10.1. Cjelobrojne slučajne varijable X i Y imaju iste zakone razdiobe ako isamo ako je g X = g Y .32