Uvod u vjerojatnost i matematicku statistiku - vjezbe -

30Definicija 9.9. Neka je (Ω, F, P ) diskretni vjerojatnosni prostor. Proizvoljnu funkcijuX : Ω → R n nazivamo (diskretni n-dimenzionalan) slučajni vektor (na Ω).Napomena 9.2. n-dimenzionalan slučajni vektor na Ω je zapravo uredena n-torka slučajnihvarijabli na Ω.Napomena 9.3. U nastavku poglavlja ćemo se baviti samo 2-dimenzionalnim slučajnimvektorima.Definicija 9.10. Neka je Z = (X, Y ) 2-dimenzionalan slučajni vektor i neka su distribucijeslučajnih varijabli X i Y dane sa( ) ( )a1 aX ∼2 . . .b1 b, Y ∼2 . . ..p 1 p 2 . . .q 1 q 2 . . .Kažemo da je zadana distribucija (ili zakon razdiobe) slučajnog vektora Z akosu za sve i, j zadani parovi (a i , b j ) ∈ R 2 i brojevip ij = P (Z = (a i , b j )) = P (ω ∈ Ω : X(ω) = a i , Y (ω) = b j ) = P (X = a i , Y = b j ).Definicija 9.11. Funkcija distribucije slučajnog vektora Z = (X, Y ) je funkcijaF Z = F X,Y = F : R 2 → [0, 1] definirana saF (x) = F (x 1 , x 2 ) = P (Z x) = P (X x 1 , Y x 2 ), x = (x 1 , x 2 ) ∈ R 2 .Napomena 9.4. Neka su slučajne varijable X i Y dane zakonima razdiobe kao u Definiciji9.10. te neka ja F funkcija distribucije slučajnog vektora Z = (X, Y ). Tada vrijediF (x) = F (x 1 , x 2 ) =∑p ij = ∑ f(y), x = (x 1 , x 2 ) ∈ R 2 ,yxa i x 1b j x 2gdje je f = f Z = f X,Y : R 2 → R + funkcija gustoće slučajnog vektora Z, ili kraće,gustoća od Z, definirana saf(x) = f(x 1 , x 2 ) = P (Z = x) = P (X = x 1 , Y = x 2 ), x = (x 1 , x 2 ) ∈ R 2 .Nadalje, za proizvoljnu funkciju g : R 2 → R vrijediE[g(X, Y )] = ∑ i,jg(a i , b j )p ij .Posebno, za g(x, y) = xy dobivamo E(XY ) = ∑ i,ja i b j p ij .