Uvod u vjerojatnost i matematicku statistiku - vjezbe -

Poglavlje 9Funkcije gustoće i distribucije.Diskretni slučajni vektoriDefinicija 9.1. Neka je X slučajna varijabla ( na diskretnom ) vjerojatnosnom prostorua1 a(Ω, F, P ) zadana zakonom razdiobe X ∼2 . . .. Funkcija gustoće od X,p 1 p 2 . . .ili kraće, gustoća od X je funkcija f X = f : R → R 1 + definirana sa{ 0, x ≠ aif(x) = P (X = x) =, x ∈ R.p i , x = a iNapomena 9.1. Neka je X diskretna slučajna varijabla. Tada za proizvoljan skup B ⊆ RvrijediP (X ∈ B) = ∑ p i = ∑ f X (x).a i ∈B x∈BDefinicija 9.2. Neka su ispunjeni uvjeti kao u Definiciji 9.1. Funkcija distribucijeslučajne varijable X je funkcija F X = F : R → [0, 1] definirana saF (x) = P (X x) = ∑ a i xp i = ∑ yxf(y),gdje je f funkcija gustoće od X.Propozicija 9.3. (Svojstva funkcije distribucije)Neka je F funkcija distribucije slučajne varijable X te neka je f gustoća od X. Tadavrijedi:(1) F je monotono neopadajuća (x y ⇒ F (x) F (y)).1 R + = {x ∈ R : x 0}.28