Uvod u vjerojatnost i matematicku statistiku - vjezbe -

27Zadatak 8.13. Odredite matematičko očekivanje i varijancu slučajnih varijabli definiranihu Primjeru 5.3.DZ 8.14. Neka je X ∼ B(n, p). Odredite VarX bez korištenja Teorema 8.12.( )1 2 3 4 6Zadatak 8.15. (a) Odredite konstantu c > 0 tako da je s X ∼c c − c 2 4c 2 1 c 2 4definiran zakon razdiobe od X.(b) Izračunajte P (2 < X 4).(c) Odredite najmanji k ∈ N takav da je P (X k) 1 2 .(d) Odredite EX i VarX.Teorem 8.16. Slučajne varijable X 1 , . . . , X n definirane ( na diskretnom)vjerojatnosnomprostoru (Ω, F, P ), zadane svojom distribucijom X i ∼a (i)1 a (i)2 . . .p (i)1 p (i)2 . . .(i = 1, . . . , n),su nezavisne ako i samo ako vrijedin∏P (X 1 = a (1)i 1, . . . , X k = a (n)i n) =za sve i 1 , . . . , i n .Teorem 8.17. Neka su X 1 , . . . , X n nezavisne slučajne varijable na diskretnom vjerojatnosnomprostoru (Ω, F, P ) i neka su g i : R → R (i = 1, . . . , n) proizvoljne funkcije.Tada su slučajne varijable g 1 (X 1 ), . . . , g n (X n ) nezavisne.Teorem 8.18. Neka su slučajne varijable X 1 , . . . , X n nezavisne i neka postoji EX i (i =n∏1, . . . , n). Tada slučajna varijabla X i ima očekivanje i vrijedii=1( ∏ n )E X i =i=1n∏EX i .Zadatak 8.19. Provjeri da li vrijedi obrat Teorema 8.18.DZ 8.20. Neka je X ∼ P (λ), λ > 0. Stavimo Y = 1 . Odredite zakon razdiobe od1 + XY i E(XY ).DZ 8.21. Neka su X, Y, Z slučajne varijable nezavisne u parovima (tj. X i Y su nezavisne,X i Z su nezavisne, Y i Z su nezavisne). Dokažite da tada vrijedii=1j=1p (j)i jVar (X + Y + Z) = VarX + VarY + VarZ.