Uvod u vjerojatnost i matematicku statistiku - vjezbe -

26Zadatak 8.6. Neka slučajna varijabla X ima konačnu varijancu. Dokžite da vrijedisljedeća formulaVarX = EX 2 − (EX) 2 .( −1 0 2Zadatak 8.7. Neka je sa X ∼Odredite varijancu od X.131313)dan zakon razdiobe slučajne varijable X.Definicija 8.8. Neka je X diskretna slučajna varijabla i r ∈ R, r > 0. r-ti momentα r od X definira se saα r = E(X r ),ako očekivanje E(X r ) postoji. r-ti apsolutni moment β r od X definira se saako očekivanje E(|X| r ) postoji. 5β r = E(|X| r ),( )a1 aNapomena 8.2. Neka je sa X ∼2 . . .dan zakon razdiobe slučajne varijablep 1 p 2 . . .X za koju postoji r-ti apsolutni moment (pa onda i r-ti moment). Tada vrijediα r = ∑ ia r i p i ,β r = ∑ i|a i | r p i .( −1 0 1 2DZ 8.9. Neka je X ∼12141818). Izračunajte α 3 i β 3 .Propozicija 8.10. Neka je X slučajna varijabla za koju postoji varijanca i neka sua, b ∈ R. Tada jeVar (aX + b) = a 2 VarX.DZ 8.11. Dokažite Propoziciju 8.10.Teorem 8.12. Neka su X 1 , . . . , X n nezavisne slučajne varijable i neka postoji VarX i , i =1, . . . , n. Tada je( n∑ ) n∑Var X i = VarX i .i=1i=15 Iz ove definicije odmah proizlazi da X ima r-ti moment ako i samo ako X ima r-ti apsolutni moment.