Uvod u vjerojatnost i matematicku statistiku - vjezbe -

Poglavlje 8Matematičko očekivanje i varijancadiskretnih slučajnih varijabliDefinicija 8.1. Neka je (Ω, P(Ω), P ) diskretni vjerojatnosni prostor, Ω = {ω 1 , ω 2 , . . .} iX slučajna varijabla na Ω. Ako red ∑ ω k ∈ΩX(ω k )P ({ω k }) apsolutno konvergira, tada njegovusumu zovemo (matematičko) očekivanje slučajne varijable X i označujemosaEX = ∑ ω k ∈ΩX(ω k )P ({ω k }).Teorem 8.2. Neka jeX ∼(a1 a 2 . . .p 1 p 2 . . .)zakon razdiobe slučajne varijable X. Redovi ∑ ω k ∈ΩX(ω k )P ({ω k }) i ∑ ia i p i istodobno iliapsolutno konvergiraju ili apsolutno divergiraju. U slučaju apsolutne konvergencije sumaim je ista, dakle vrijediEX = ∑ a i p i .iKorolar 8.3. (Svojstva matematičkog očekivanja)(1) X = konstanta = c (c ∈ R) 1 ⇒ EX = c.(2) Neka je X slučajna varijabla s distribucijom X ∼proizvoljna funkcija. Tada vrijedi(a1 a 2 . . .p 1 p 2 . . .)i g : R → RE[g(X)] = ∑ ig(a i )p i1 X(ω) = c za sve ω ∈ Ω.24