Uvod u vjerojatnost i matematicku statistiku - vjezbe -

Poglavlje 7Granični teoremi u BernoullijevojshemiTeorem 7.1. (Lokalni Moivre-Laplaceov teorem)Neka je p ∈ (0, 1), X n ∼ B(n, p) i x k = k − np √ npq, k = 0, 1, . . . , n (q = 1 − p). Tadavrijedi√ 2πnpq P (Xn = k)lim= 1n→∞e − x2 k2i to uniformno na svakom ograničenom segmentu [a, b], a x k b, za sve k i n.Napomena 7.1. Dakle, za velike n vrijediP (X n = k) ≈ √ 1 1 · √ e − (k−np)22npq.npq 2πStavimo ϕ(x) = 1 √2πe − x22 . 1 Tada za velike n vrijediP (X n = k) ≈ √ 1 ( k − npϕ √). (7.1)npq npqTeorem 7.2. (Integralni Moivre-Laplaceov teorem)Neka je p ∈ (0, 1) i X n ∼ B(n, p) (n ∈ N). Tada za proizvoljne a, b ∈ R (a < b) vrijedi(lim P a X n − np√n→∞ npq) b = 1√2π∫ bae − x22 dx.1 Funkcija ϕ naziva se Gaussova ili normalna funkcija i njezine su vrijednosti tabelirane, npr. uMatematičkom priručniku Bronštejna i Semendjajeva.22