Uvod u vjerojatnost i matematicku statistiku - vjezbe -

Poglavlje 6Bernoullijeva shemaDefinicija 6.1. Neka je Ω 1 = {0, 1}, P 1 : P(Ω 1 ) → [0, 1] vjerojatnost na Ω 1 t. d. jeP 1 ({1}) = p i P 1 ({0}) = q = 1 − p. Bernoullijeva shema je diskretni vjerojatnosniprostor (Ω, F, P ) gdje je Ω = Ω n 1 i P = P n 1 . 1Napomena 6.1. Bernoullijeva je shema matematički model za n nezavisnih pokusa odkojih svaki ima samo dva moguća ishoda - ”uspjeh” (1) i ”neuspjeh” (0) - pri čemu jevjerojatnost uspjeha u svakom pokusu ista.Korolar 6.2. Neka su Ω, P i p kao u definiciji 6.1. te neka je ω = (ω 1 , . . . , ω n ) ∈Ω (ω i = 1 ili 0). Na Ω definiramo slučajnu varijablu X saTada je X ∼ B(n, p). Ako stavimoX(ω) = broj jedinica u ω.A = {X = k} = {u n pokusa dogodilo se k uspjeha},( nslijedi P (A) = P (X = k) = pk)k q n−k .Zadatak 6.3. Četvorica igrača igraju neku igru s kartama i prilikom podjele 52 kartejedan od igrača tri puta zaredom nije dobio asa. Izračunajte vjerojatnost tog dogadaja.Zadatak 6.4. Razvrstavamo (nezavisno) 6 kuglica u 3 kutije A, B, C. Vjerojatnost daćemo svaku kuglicu smjestiti u pojedinu kutiju iznosi 1 . Kolika je vjerojatnost da će u3kutiji A biti:(a) točno 4 kuglice;1 Za ω = (ω 1 , . . . , ω n ) ∈ Ω imamo P (ω) = P1 n (ω) = P 1 (ω 1 ) · P 1 (ω 2 ) · . . . · P 1 (ω n ).20