Uvod u vjerojatnost i matematicku statistiku - vjezbe -

12Zadatak 3.13. U kutiji se nalazi N kuglica od kojih je M bijelih (M < N). Naslučajan način se iz kutije jedna za drugom izvlače dvije kuglice (bez vraćanja). Naditevjerojatnost da druga izvučena kuglica bude bijela.DZ 3.14. U skupini od 10 strijelaca nalaze se 4 izvrsna i 6 dobrih. Vjerojatnost pogotkaza izvrsne strijelce iznosi 0.9, a za dobre 0.7. Iz skupine slučajno izabiremo jednogstrijelca. Kolika je vjerojatnost da će on pogoditi metu?Propozicija 3.15. Neka je {H 1 , H 2 , . . . , H n } potpun sistem dogadaja u vjerojatnosnomprostoru (Ω, F, P ). Tada za A, B ∈ F vrijediP (B|A) =n∑P (H i |A)P (B|H i ∩ A).i=1Teorem 3.16. (Bayesova formula)Neka je {H 1 , H 2 , . . . , H n } potpun sistem dogadaja u vjerojatnosnom prostoru (Ω, F, P )i A ∈ F takav da je P (A) > 0. Tada za svaki i ∈ {1, 2, . . . , n} vrijediP (H i |A) = P (H i)P (A|H i ).n∑P (H j )P (A|H j )j=1Zadatak 3.17. Na stolu se nalaze tri kutije. U prvoj se kutiji nalaze 2 žute, 4 zelene i6 plavih kuglica, u drugoj 4 žute, 6 zelenih i 8 plavih, a u trećoj 6 žutih, 8 zelenih i 10plavih kuglica. Bacamo simetričnu kocku i ako na kocki padne1, 2, 3 → biramo prvu kutiju,4 → biramo drugu kutiju,5, 6 → biramo treću kutiju.(a) Iz tako odabrane kutije je na slučajan način izvučena kuglica i ona je bila zelena.Ako tu kuglicu ne vraćamo natrag u kutiju, izračunajte vjerojatnost da će slijedećaizvučena kuglica iz iste kutije biti plava.(b) Ako su izvučene dvije žute kuglice, iz koje je kutije najvjerojatnije da su one bileizvučene?DZ 3.18. U dvije od tri jednake pregrade nalaze se 2 crne i 2 bijele kuglice, a u trećoj5 bijelih i 1 crna. Iz na sreću odabrane pregrade izvučena je jedna kuglica bijele boje.Kolika je vjerojatnost da je ona izvučena iz treće pregrade?