Uvod u vjerojatnost i matematicku statistiku - vjezbe -

11B ∩ C = {(1, 6), (2, 5), (3, 4)} ⇒ P (B ∩ C) = 3 36 = 1 12 ,A ∩ B ∩ C = {(1, 6), (2, 5), (3, 4)} ⇒ P (A ∩ B ∩ C) = 3 36 = 1 12 .Lako se provjeri da vrijediP (A ∩ B) = P (A) · P (B),P (A ∩ C) = P (A) · P (C),P (B ∩ C) = P (B) · P (C),odakle slijedi da su A, B i C u parovima nezavisni. 2 Ali jer jeslijedi da A, B i C nisu nezavisni.P (A ∩ B ∩ C) ≠ P (A) · P (B) · P (C),Zadatak 3.9. Koliko najmanje slučajno odabranih osoba treba pitati za datum njihovogrodenja (zanemarujemo godinu rodenja, već uzimamo u obzir samo dan i mjesec) da bise s vjerojatnošću većom od 0.5 našla barem jedna osoba rodena istog datuma kao i vi(isključujemo 29. 2.)?DZ 3.10. (a) Bacamo jednu simetričnu kocku 4 puta (nezavisno). Dokažite da jevjerojatnost dogadaja da padne parem jedna šestica veća od 0.5.(b) Da li je vjerojatnost da u šest puta više bacanja (dakle 24 bacanja) dvije simetričnekocke padne barem jedna dvostruka šestica takoder veća od 0.5?Teorem 3.11. (Formula potpune vjerojatnosti)Neka je {H 1 , H 2 , . . . , H n } potpun sistem dogadaja u vjerojatnosnom prostoru (Ω, F, P )(tj. P (H i ) > 0 za i = 1, 2, . . . , n; H i ∩ H j = ∅ za i ≠ j; H 1 ∪ H 2 ∪ . . . ∪ H n = Ω), 3 teneka je A ∈ F. Tada vrijediP (A) =n∑P (H i )P (A|H i ).i=1Zadatak 3.12. Neki vojni cilj gada se iz tri topa. Topovi gadaju cilj nezavisno jedanod drugoga s vjerojatnošću 0.4. Ako jedan top pogodi cilj, on ga uništi s vjerojatnošću0.3, ako ga pogode dva topa, unište ga s vjerojatnošću 0.7, a ako ga pogode sva tri topa,unište ga s vjerojatnošću 0.9. Nadite vjerojatnost uništenja cilja.2 To znači da su A i B nezavisni, A i C nezavisni te B i C nezavisni.3 Dogadaji H i nazivaju se hipoteze.