Uvod u vjerojatnost i matematicku statistiku - vjezbe -

Poglavlje 3Uvjetna vjerojatnost. NezavisnostDefinicija 3.1. Neka je (Ω, F, P ) vjerojatnosni prostor, A ∈ F dogadaj takav da jeP (A) > 0. Definiramo funkciju P A : F → [0, 1] saP A (B) = P (B|A) :=P (A ∩ B), B ∈ F.P (A)P A je vjerojatnost na F koju zovemo uvjetna vjerojatnost uz uvjet A. Broj P (B|A)zovemo vjerojatnost od B uz uvjet A.DZ 3.2. Dokažite da je P A vjerojatnost na F.Zadatak 3.3. Dva se broja na slučajan način odjednom izabiru izmedu brojeva 1, 2, . . . , 10.Ako je poznato da je njihov zbroj paran, nadite vjerojatnost da su oba neparna.Definicija 3.4. Neka je (Ω, F, P ) vjerojatnosni prostor.Dogadaji A i B su nezavisni ako vrijediP (A ∩ B) = P (A) · P (B).Dogadaji A 1 , . . . , A n su nezavisni ako vrijediP (A i1 ∩ A i2 ∩ . . . ∩ A ik ) = P (A i1 ) · P (A i2 ) · . . . · P (A ik )za 1 i 1 < i 2 < . . . < i k n.Dogadaji A α , α ∈ A, su nezavisni ako za svaki konačan podskup (i 1 , i 2 , . . . , i k ) ⊆ Arazličitih indeksa vrijediP (A i1 ∩ A i2 ∩ . . . ∩ A ik ) = P (A i1 ) · P (A i2 ) · . . . · P (A ik ).Primjer 3.1. Na osnovi definicije 3.4. slijedi da su dogadaji A, B, C nezavisni ako vrijedi:9