Uvod u vjerojatnost i matematicku statistiku - vjezbe -

Uvod u vjerojatnost i matematičku statistiku- vježbe -Danijel Krizmanić28. rujna 2007.

Sadržaj1 Osnove vjerojatnosti 22 Kombinatorika i vjerojatnost 53 Uvjetna vjerojatnost. Nezavisnost 94 Geometrijske vjerojatnosti 145 Diskretne slučajne varijable 166 Bernoullijeva shema 207 Granični teoremi u Bernoullijevoj shemi 228 Matematičko očekivanje i varijanca diskretnih slučajnih varijabli 249 Funkcije gustoće i distribucije. Diskretni slučajni vektori 2810 Funkcije izvodnice 3211 Neprekidne slučajne varijable 3412 Matematičko očekivanje i varijanca neprekidnih slučajnih varijabli 3813 Normalna razdioba. Centralni granični teorem 4014 Osnove deskriptivne statistike. Linearna korelacija 4215 χ 2 -test 481

4(a) A ⊆ B ⇒ P (A) P (B);(b) P (A ∪ B ∪ C) max{P (A), P (B), P (C)};(c) P (A ∩ B ∩ C) min{P (A), P (B), P (C)};(d) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B);(e) P (A c ) = 1 − P (A);(f) P (A ∩ B) P (A) + P (B) − 1.Propozicija 1.11. (Sylvestrova formula)Neka je (Ω, F, P ) vjerojatnosni prostor i A i ∈ F (i = 1, . . . , n). Tada vrijedi( ⋃ n )P A i = ∑ P (A i )− ∑P (A i ∩A j )+i=1 ini

Poglavlje 2Kombinatorika i vjerojatnostDefinicija 2.1. Neka je A = {a 1 , a 2 , . . . , a n } (|A| = n), r ∈ N, r n. 1(1) Varijacija r-tog razreda u skupu A je svaka uredena r-torka (a i1 , a i2 , . . . , a ir )medusobno različitih elemenata skupa A. Broj svih varijacija r-tog razreda u n-članom skupu A jednak je V n (r) = n(n − 1) · . . . · (n − r + 1).(2) Permutacija u skupu A je svaka varijacija n-tog razreda u skupu A. Broj svihpermutacija u n-članom skupu A jednak je P n = V n(n) = n!.(3) Varijacija s ponavljanjem r-tog razreda u skupu A je svaka uredena r-torka(a i1 , a i2 , . . . , a ir ) elemenata skupa A (članovi r-torke mogu biti jednaki). Broj svihvarijacija s ponavljanjem r-tog razreda u n-članom skupu A jednak je V (r)n = n r .(4) Kombinacija r-tog razreda u skupu A je svaki r-člani podskup skupa ( A. Brojnsvih kombinacija r-tog razreda u n-članom skupu A jednak je C n (r) = .r)(5) Kombinacija s ponavljanjem r-tog razreda u skupu A je svaka neuredenar-torka (a i1 , a i2 , . . . , a ir ) elemenata skupa A (članovi r-torke mogu biti jednaki).Broj svih kombinacija s ponavljanjem r-tog razreda u n-članom skupu A jednak jeC (r)n =( n + r − 1r).Zadatak 2.2. Bacamo simetričnu kocku tri puta. Kolika je vjerojatnost da ćemo svakiput dobiti veći broj?Zadatak 2.3. Bacamo šest simetričnih kocki. Izračunajte vjerojatnost da ćemo na svimkockama dobiti različite brojeve, ako kocke razlikujemo.1 U (3) i (5) može biti i r > n.5

7(b) u različitim mjesecima?Zadatak 2.12. Za okrugli se stol po volji razmjestilo n osoba (n > 2).vjerojatnost da su dvije fiksirane osobe A i B sjele jedna pored druge?Kolika jeDZ 2.13. Grupa od n strijelaca gada u m meta (n m). Svaki od strijelaca izabire simetu na slučajan način nezavisno od drugih strijelaca. Kolika je vjerojatnost da će svistrijelci gadati u:(a) istu metu;(b) različite mete?Primjer 2.1. (Razdioba r kuglica u n kutija)Pretpostavimo da na slučajan način (bacanjem) vršimo razdiobu r kuglica u n kutija.Označimo kutije sa a 1 , a 2 , . . . , a n . Svakom pojedinom bacanju kuglica odgovara jedanizbor kutija. Npr. za r = 3, n = 5 s (a 1 , a 4 , a 3 ) označavamo ishod bacanja kod kojegje prva kuglica rasporedena u 1. kutiju, druga kuglica u 4. kutiju te treća kuglica u3. kutiju.(1) Ako kuglice medusobno razlikujemo i ako svaka kutija može primiti proizvoljnomnogo kuglica (od 0 do r), tada je ukupan broj svih mogućih razdioba r kuglicau n kutija jednak V (r)n = n r (tzv. Maxwell - Boltzmanova hipoteza).(2) Ako kuglice medusobno ne razlikujemo i ako svaka kutija može primiti proizvoljnomnogo kuglica (od 0 do r), tada je ukupan broj svih mogućih razdioba r kuglicau n kutija jednak C (r)n = ( )n+r−1r (tzv. Bose - Einsteinova hipoteza).(3) Neka je r n i neka svaka kutija može primiti najviše jednu kuglicu. Ako kuglicemedusobno ne razlikujemo, tada je ukupan broj svih mogućih razdioba r kuglicau n kutija jednak C n(r) = ( nr)(tzv. Fermi - Diracova hipoteza).(4) Neka je r n i neka svaka kutija može primiti najviše jednu kuglicu. Ako kuglicemedusobno razlikujemo, tada je ukupan broj svih mogućih razdioba r kuglica u nkutija jednak V n(r) = n(n − 1) · . . . · (n − r + 1) (tzv. Linden - Bellova hipoteza).DZ 2.14. Pročitajte iz knjige Nikola Sarapa: Vjerojatnost i statistika I. dio (Osnovevjerojatnosti, Kombinatorika) poglavlje o izvlačenju kuglica iz kutije (Primjer 3.40.,92. str.).Zadatak 2.15. Na slučajan način razmještamo n kuglica u n kutija (kuglice razlikujemoi svaka kutija može primiti proizvoljno od 0 do n kuglica). Kolika je vjerojatnost da točnojedna kutija ostane prazna?

8DZ 2.16. Na slučajan način razmještamo 4 kuglica u 6 kutija (kuglice razlikujemo isvaka kutija može primiti proizvoljno od 0 do 4 kuglica). Kolika je vjerojatnost da će uprve četiri kutije biti točno po jedna kuglica?Zadatak 2.17. Pretpostavimo da 4 igrača igraju igru sa 52 igraće karte, pri čemu se usvakoj igri svakom igraču podijeli 13 karata. Kolika je vjerojatnost da u jednoj igri svakiigrač ima jednog asa (djeljenje karata je slučajno)?DZ 2.18. Lift kreće sa 7 putnika i staje na 10 katova. Kolika je vjerojatnost da svakiputnik izade na različitom katu ako:(a) putnike medusobno razlikujemo;(b) putnike medusobno ne razlikujemo?DZ 2.19. Kutija sadrži 10 kuglica numeriranih brojevima od 1 do 10. Na slučajan načinizvučemo iz kutije 5 kuglica. Izračunajte vjerojatnost da drugi po veličini od 5 izvučenihbrojeva bude 8.

Poglavlje 3Uvjetna vjerojatnost. NezavisnostDefinicija 3.1. Neka je (Ω, F, P ) vjerojatnosni prostor, A ∈ F dogadaj takav da jeP (A) > 0. Definiramo funkciju P A : F → [0, 1] saP A (B) = P (B|A) :=P (A ∩ B), B ∈ F.P (A)P A je vjerojatnost na F koju zovemo uvjetna vjerojatnost uz uvjet A. Broj P (B|A)zovemo vjerojatnost od B uz uvjet A.DZ 3.2. Dokažite da je P A vjerojatnost na F.Zadatak 3.3. Dva se broja na slučajan način odjednom izabiru izmedu brojeva 1, 2, . . . , 10.Ako je poznato da je njihov zbroj paran, nadite vjerojatnost da su oba neparna.Definicija 3.4. Neka je (Ω, F, P ) vjerojatnosni prostor.Dogadaji A i B su nezavisni ako vrijediP (A ∩ B) = P (A) · P (B).Dogadaji A 1 , . . . , A n su nezavisni ako vrijediP (A i1 ∩ A i2 ∩ . . . ∩ A ik ) = P (A i1 ) · P (A i2 ) · . . . · P (A ik )za 1 i 1 < i 2 < . . . < i k n.Dogadaji A α , α ∈ A, su nezavisni ako za svaki konačan podskup (i 1 , i 2 , . . . , i k ) ⊆ Arazličitih indeksa vrijediP (A i1 ∩ A i2 ∩ . . . ∩ A ik ) = P (A i1 ) · P (A i2 ) · . . . · P (A ik ).Primjer 3.1. Na osnovi definicije 3.4. slijedi da su dogadaji A, B, C nezavisni ako vrijedi:9

10P (A ∩ B) = P (A) · P (B)P (A ∩ C) = P (A) · P (C)P (B ∩ C) = P (B) · P (C)P (A ∩ B ∩ C) = P (A) · P (B) · P (C).Zadatak 3.5. Pokažite da disjunktnost skupova A i B ne povlači (općenito) nezavisnosttih dogadaja.DZ 3.6. Dokažite da su disjunktni dogadaji A i B nezavisni ako i samo ako vrijediP (A) = 0 ili P (B) = 0.Zadatak 3.7. Neka su A i B nezavisni dogadaji.dogadaji A i B c .Dokažite da su tada nezavisni iDZ 3.8. Neka su A i B nezavisni dogadaji. Dokažite da su tada nezavisni i dogadajiA c i B c .Primjer 3.2. Dogadaji A, B, C mogu biti u parovima nezavisni, ali ne moraju biti nezavisni.Naime, promotrimo slučajni pokus bacanja dviju simetričnih kocki 1 i promotrimodogadajeTada imamoNadaljeA = {na prvoj kocki palo je 1, 2 ili 3},B = {na drugoj kocki palo je 4, 5 ili 6},C = {zbroj brojeva koji su pali na obje kocke je 7}.A = {(1, i), (2, i), (3, i) : i = 1, 2, . . . , 6} ⇒ P (A) = 1836 = 1 2 ,B = {(i, 4), (i, 5), (i, 6) : i = 1, 2, . . . , 6} ⇒ P (B) = 1836 = 1 2 ,C = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)} ⇒ P (C) = 6 36 = 1 6 .A∩B = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6)} ⇒ P (A∩B) = 9 36 = 1 4 ,A ∩ C = {(1, 6), (2, 5), (3, 4)} ⇒ P (A ∩ C) = 3 36 = 1 12 ,1 Ovdje je Ω = {(i, j) : 1 i, j 6}, F = P(Ω), P ((i, j)) = 136za (i, j) ∈ Ω.

11B ∩ C = {(1, 6), (2, 5), (3, 4)} ⇒ P (B ∩ C) = 3 36 = 1 12 ,A ∩ B ∩ C = {(1, 6), (2, 5), (3, 4)} ⇒ P (A ∩ B ∩ C) = 3 36 = 1 12 .Lako se provjeri da vrijediP (A ∩ B) = P (A) · P (B),P (A ∩ C) = P (A) · P (C),P (B ∩ C) = P (B) · P (C),odakle slijedi da su A, B i C u parovima nezavisni. 2 Ali jer jeslijedi da A, B i C nisu nezavisni.P (A ∩ B ∩ C) ≠ P (A) · P (B) · P (C),Zadatak 3.9. Koliko najmanje slučajno odabranih osoba treba pitati za datum njihovogrodenja (zanemarujemo godinu rodenja, već uzimamo u obzir samo dan i mjesec) da bise s vjerojatnošću većom od 0.5 našla barem jedna osoba rodena istog datuma kao i vi(isključujemo 29. 2.)?DZ 3.10. (a) Bacamo jednu simetričnu kocku 4 puta (nezavisno). Dokažite da jevjerojatnost dogadaja da padne parem jedna šestica veća od 0.5.(b) Da li je vjerojatnost da u šest puta više bacanja (dakle 24 bacanja) dvije simetričnekocke padne barem jedna dvostruka šestica takoder veća od 0.5?Teorem 3.11. (Formula potpune vjerojatnosti)Neka je {H 1 , H 2 , . . . , H n } potpun sistem dogadaja u vjerojatnosnom prostoru (Ω, F, P )(tj. P (H i ) > 0 za i = 1, 2, . . . , n; H i ∩ H j = ∅ za i ≠ j; H 1 ∪ H 2 ∪ . . . ∪ H n = Ω), 3 teneka je A ∈ F. Tada vrijediP (A) =n∑P (H i )P (A|H i ).i=1Zadatak 3.12. Neki vojni cilj gada se iz tri topa. Topovi gadaju cilj nezavisno jedanod drugoga s vjerojatnošću 0.4. Ako jedan top pogodi cilj, on ga uništi s vjerojatnošću0.3, ako ga pogode dva topa, unište ga s vjerojatnošću 0.7, a ako ga pogode sva tri topa,unište ga s vjerojatnošću 0.9. Nadite vjerojatnost uništenja cilja.2 To znači da su A i B nezavisni, A i C nezavisni te B i C nezavisni.3 Dogadaji H i nazivaju se hipoteze.

12Zadatak 3.13. U kutiji se nalazi N kuglica od kojih je M bijelih (M < N). Naslučajan način se iz kutije jedna za drugom izvlače dvije kuglice (bez vraćanja). Naditevjerojatnost da druga izvučena kuglica bude bijela.DZ 3.14. U skupini od 10 strijelaca nalaze se 4 izvrsna i 6 dobrih. Vjerojatnost pogotkaza izvrsne strijelce iznosi 0.9, a za dobre 0.7. Iz skupine slučajno izabiremo jednogstrijelca. Kolika je vjerojatnost da će on pogoditi metu?Propozicija 3.15. Neka je {H 1 , H 2 , . . . , H n } potpun sistem dogadaja u vjerojatnosnomprostoru (Ω, F, P ). Tada za A, B ∈ F vrijediP (B|A) =n∑P (H i |A)P (B|H i ∩ A).i=1Teorem 3.16. (Bayesova formula)Neka je {H 1 , H 2 , . . . , H n } potpun sistem dogadaja u vjerojatnosnom prostoru (Ω, F, P )i A ∈ F takav da je P (A) > 0. Tada za svaki i ∈ {1, 2, . . . , n} vrijediP (H i |A) = P (H i)P (A|H i ).n∑P (H j )P (A|H j )j=1Zadatak 3.17. Na stolu se nalaze tri kutije. U prvoj se kutiji nalaze 2 žute, 4 zelene i6 plavih kuglica, u drugoj 4 žute, 6 zelenih i 8 plavih, a u trećoj 6 žutih, 8 zelenih i 10plavih kuglica. Bacamo simetričnu kocku i ako na kocki padne1, 2, 3 → biramo prvu kutiju,4 → biramo drugu kutiju,5, 6 → biramo treću kutiju.(a) Iz tako odabrane kutije je na slučajan način izvučena kuglica i ona je bila zelena.Ako tu kuglicu ne vraćamo natrag u kutiju, izračunajte vjerojatnost da će slijedećaizvučena kuglica iz iste kutije biti plava.(b) Ako su izvučene dvije žute kuglice, iz koje je kutije najvjerojatnije da su one bileizvučene?DZ 3.18. U dvije od tri jednake pregrade nalaze se 2 crne i 2 bijele kuglice, a u trećoj5 bijelih i 1 crna. Iz na sreću odabrane pregrade izvučena je jedna kuglica bijele boje.Kolika je vjerojatnost da je ona izvučena iz treće pregrade?

13DZ 3.19. U kutiji se nalazi 90 kuglica od kojih je 10 numerirano brojem 1, 10 ih jenumerirano brojem 2 i tako dalje, konačno 10 ih je numerirano brojem 9. Na slučajannačin se jedna za drugom bez vraćanja izvlače tri kuglice te se zapiše dobiveni broj(izvučemo li npr. brojeve 1, 7, 6 tim redosljedom, to zapisujemo kao broj 176). DefiniramodogadajA = {dobiveni troznamenkasti broj je paran}.Odredite vjerojatnost dogadaja A. Što se promijeni ako svaki put vratimo izvučenukuglicu u kutiju (odnosno, izvlačimo kuglice s vraćanjem)?

Poglavlje 4Geometrijske vjerojatnostiNapomena 4.1. Neka je Ω ⊆ R n (n = 1, 2, 3) ograničen skup za koji vrijedi 0 < λ(Ω) 1 }. 23Zadatak 4.2. Dva prijatelja se dogovore da se nadu negdje u gradu. Svaki od njih ćedoći u neko slučajno doba uzmedu 8 i 9 sati. Kada dode, svaki od njih čeka 20 minutate ako se drugi ne pojavi, odlazi. Kolika je vjerojatnost da će se oni sresti?Zadatak 4.3. Na slučajan način izabiremo brojeve x ∈ [0, 1] i y ∈ [0, 2]. Kolika jevjerojatnost da je x + y > 2 i xy < 1?1 Možemo i ovako reći: P (slučajno odabrana točka x ∈ Ω nalazi se u A) = P (A) = λ(A)λ(Ω) .{2 Skup D možemo zapisati i u obliku x < 1 2 , y > 1 }. Ovdje nam zarez zamjenjuje simbol za3presjek. Taj ćemo oblik često koristiti u nastavku.14

15DZ 4.4. Slučajno i nezavisno izabiremo brojeve x, y ∈ [0, 1]. Izračunajte vjerojatnostda je x + y 1 i xy 2 9 .Zadatak 4.5. Slučajno su i nezavisno jedna od druge, odabrane tri točke x, y, z ∈ [0, 1].Izračunajte vjerojatnost da je x + y + z 1 2 .Zadatak 4.6. Na slučajan način su izabrani brojevi a, b ∈ [0, 1]. Izračunajte vjerojatnostda će korijeni jednadžbe x 2 + ax + b 2 = 0 biti realni.DZ 4.7. U jednakokračnom trokutu osnovice duljine a i visine duljine a upisan jekvadrat. Kolika je vjerojatnost da na sreću odabrana točka u trokutu ne leži unutartog kvadrata?

Poglavlje 5Diskretne slučajne varijableDefinicija 5.1. Neka je (Ω, F, P ) diskretni vjerojatnosni prostor. 1 Proizvoljna funkcijaX : Ω → R naziva se (diskretna) slučajna varijabla (na Ω).Reći ćemo da je zadana distribucija (razdioba) slučajne varijable X (odnosno,zakon razdiobe od X) ako je zadan (konačan ili prebrojiv) niz a 1 , a 2 , a 3 , . . . svih različitihvrijednosti koje poprima slučajna varijabla X, 2 te niz brojeva p 1 , p 2 , p 3 , . . . takvihda jep i = P (X = a i ) = P (X −1 (a i )) = P (ω ∈ Ω : X(ω) = a i ), 3što zapisujemoX ∼(a1 a 2 a 3 . . .p 1 p 2 p 3 . . .)(5.1)Napomena 5.1. Ako je slučajna varijabla X dana zakonom razdiobe (5.1), tada zaproizvoljan skup B ⊆ R vrijediP (X ∈ B) =∑p i .{i : a i ∈B}p i = ∑ a i ∈BPrimjer 5.2. Promotrimo slučajni pokus bacanja dvije simetrične igraće kocke. 4 Vjerojatnosniprostor kojim je opisan navedeni pokus dan je s Ω = {(i, j) : 1 i, j 6}, 5F = P(Ω) i P (ω) = P ({ω}) = 1 36za ω ∈ Ω. Definirajmo dvije slučajne varijable na Ω:X : Ω → N,X = broj koji je pao na prvoj kocki,1 Vjerojatnosni prostor (Ω, F, P ) kod kojeg je skup Ω konačan ili prebrojivo beskonačan zovemodiskretni vjerojatnosni prostor.2 X(Ω) = {a 1 , a 2 , a 3 , . . .}.3 Uočimo da mora vrijediti: 0 p i 1 i ∑ p i = 1.4iKocke razlikujemo, npr. neka je prva obojana crvenom, a druga plavom bojom.5 U uredenom paru (i, j), i predstavlja broj koji je pao na prvoj kocki, a j broj koji je pao na drugojkocki.16

17Y : Ω → N,Y = broj koji je pao na drugoj kocki.Tada za ω = (i ω , j ω ) ∈ Ω vrijedi X(ω) = i ω i Y (ω) = j ω . Odredimo zakone razdioba odX i Y . Zbog simetričnosti, X i Y imaju jednake zakone razdiobe pa je dovoljno odreditizakon razdiobe od X. Prvo, slučajna varijabla X poprima šest različitih vrijednosti; tosu 1, 2, . . . , 6 (a i = i za i = 1, 2, . . . , 6). Odredimo p i = P (X = i). ImamoP (X = 1) = P (ω ∈ Ω : X(ω) = 1) = P ({(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)}) = 6 36 = 1 6 .Slično se dobije i P (X = 2) = P (X = 3) = . . . = P (X = 6) = 1 . Zato je zakon6razdiobe od X dan sa( 1 2 3 4 5 6X ∼Odredimo još P (X 4), P (X + Y = 7) i P (X = 5 | X + Y = 7). Imamo161616P (X 4) = P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) = 4 6 = 2 3 , 6161616).P (X + Y = 7) = P ({(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}) = 6 36 = 1 6 ,P (X = 5 | X + Y = 7) =P (X = 5, X + Y = 7)P (X + Y = 7)=1P ({(5, 2)})P (X + Y = 7) =3616= 1 6 .7Definicija 5.2. Neka je (Ω, F, P ) diskretni vjerojatnosni prostor te X 1 , . . . , X n slučajnevarijable na Ω. Kažemo da su X 1 , . . . , X n nezavisne slučajne varijable ako za proizvoljneskupove B i ⊆ R (i = 1, . . . , n) vrijediP (X 1 ∈ B 1 , . . . , X n ∈ B n ) =n∏P (X i ∈ B i ).i=1Zadatak 5.3. Neka meta gada se četiri puta pri čemu je vjerojatnost pogotka u svakomgadanju jednaka 0.8. Neka je X slučajna varijabla čija je vrijednost broj pogodaka umetu. Odredite:(a) zakon razdiobe od X;(b) vjerojatnost dogadaja {1 X 3}.6 Ovdje smo dogadaj {X 4} rastavili na uniju četiri disjunktna dogadaja {X = 1}, {X = 2},{X = 3}, {X = 4} pa smo iskoristili aditivnost vjerojatnosti.7 P (X = 5, X + Y = 7) = P ({X = 5} ∩ {X + Y = 7}) = P (ω ∈ Ω : X(ω) = 5, X(ω) + Y (ω) = 7) == P (ω ∈ Ω : X(ω) = 5, 5 + Y (ω) = 7) = P (ω ∈ Ω : X(ω) = 5, Y (ω) = 2) = P ({(5, 2)}).

18Primjer 5.3. (Osnovne distribucije diskretnih slučajnih varijabli)(1) Kažemo da slučajna varijabla X ima binomnu razdiobu s parametrima n ∈ N ip ∈ (0, 1) ako joj je distribucija dana formulom( nP (X = k) = pk)k q n−k , k = 0, 1, . . . , ngdje je q = 1 − p. Oznaka: X ∼ B(n, p).(2) Kažemo da slučajna varijabla X ima Bernoullijevu razdiobu s parametromp ∈ (0, 1) ako joj je distribucija dana sa( ) 0 1X ∼q pgdje je q = 1 − p. 8(3) Kažemo da slučajna varijabla X ima diskretnu uniformnu razdiobu s parametromn ∈ N ako joj je distribucija dana sa( )1 2 . . . nX ∼ 1 1 1 ,. . .n n ntj. P (X = k) = 1 , k = 1, 2, . . . , n.n(4) Kažemo da slučajna varijabla X ima hipergeometrijsku razdiobu s parametriman, m ∈ N, r ∈ N 0 (n m, r ∈ {0, 1, . . . , m}) ako joj je distribucija dana formulom( r m−r)P (X = k) =k)(n−k( mk = 0, 1, . . . , n.n)(5) Neka je λ ∈ R, λ > 0. Kažemo da slučajna varijabla X ima Poissonovu razdiobus parametrom λ ako joj je distribucija dana formulomOznaka: X ∼ P (λ).P (X = k) = λkk! e−λ , k = 0, 1, 2 . . .(6) Kažemo da slučajna varijabla X ima logaritamsku razdiobu s parametromp ∈ (0, 1) ako joj je distribucija dana formulomgdje je q = 1 − p.P (X = k) = −qkk ln p ,k ∈ N8 Vrijedi sljedeća činjenica: ako su X 1 , . . . , X n nezavisne Bernoullijeve slučajne varijable sn∑parametrom p, tada je X i ∼ B(n, p).i=1

19(7) Kažemo da slučajna varijabla X ima geometrijsku razdiobu s parametromp ∈ (0, 1) ako joj je distribucija dana formulomgdje je q = 1 − p.P (X = k) = p q k , k = 0, 1, 2, . . .Zadatak 5.4. Provjerite da su slučajne varijable iz Primjera 5.3. dobro definirane.Zadatak 5.5. Neka je Ω = {ω 1 , ω 2 , ω 3 } i P (ω 1 ) = P (ω 2 ) = P (ω 3 ) = 1 3 . Definirajmoslučajne varijable X, Y, Z saX(ω 1 ) = 1, X(ω 2 ) = 2, X(ω 3 ) = 3,Y (ω 1 ) = 2, Y (ω 2 ) = 3, Y (ω 3 ) = 1,Z(ω 1 ) = 3, Z(ω 2 ) = 1, Z(ω 3 ) = 2.Pokažite da X, Y, Z imaju isti zakon razdiobe te nadite zakone razdiobe od X +Y , Y +Z,X + Y − Z, √ Z(X 2 + Y 2 )Z i|X − Y | .DZ 5.6. U kutiji se nalazi 7 kuglica od kojih su 4 bijele i 3crne. Iz kutije na slučajannačin izvlačimo 3 kuglice (bez vraćanja). Označimo s X broj bijelih kuglica meduizvučenim kuglicama. Odredite zakon razdiobe slučajne varijable X.DZ 5.7. Neka je X ∼ B(3, 2 3 ). Odredite razdiobu slučajne varijable Y = X2 .

Poglavlje 6Bernoullijeva shemaDefinicija 6.1. Neka je Ω 1 = {0, 1}, P 1 : P(Ω 1 ) → [0, 1] vjerojatnost na Ω 1 t. d. jeP 1 ({1}) = p i P 1 ({0}) = q = 1 − p. Bernoullijeva shema je diskretni vjerojatnosniprostor (Ω, F, P ) gdje je Ω = Ω n 1 i P = P n 1 . 1Napomena 6.1. Bernoullijeva je shema matematički model za n nezavisnih pokusa odkojih svaki ima samo dva moguća ishoda - ”uspjeh” (1) i ”neuspjeh” (0) - pri čemu jevjerojatnost uspjeha u svakom pokusu ista.Korolar 6.2. Neka su Ω, P i p kao u definiciji 6.1. te neka je ω = (ω 1 , . . . , ω n ) ∈Ω (ω i = 1 ili 0). Na Ω definiramo slučajnu varijablu X saTada je X ∼ B(n, p). Ako stavimoX(ω) = broj jedinica u ω.A = {X = k} = {u n pokusa dogodilo se k uspjeha},( nslijedi P (A) = P (X = k) = pk)k q n−k .Zadatak 6.3. Četvorica igrača igraju neku igru s kartama i prilikom podjele 52 kartejedan od igrača tri puta zaredom nije dobio asa. Izračunajte vjerojatnost tog dogadaja.Zadatak 6.4. Razvrstavamo (nezavisno) 6 kuglica u 3 kutije A, B, C. Vjerojatnost daćemo svaku kuglicu smjestiti u pojedinu kutiju iznosi 1 . Kolika je vjerojatnost da će u3kutiji A biti:(a) točno 4 kuglice;1 Za ω = (ω 1 , . . . , ω n ) ∈ Ω imamo P (ω) = P1 n (ω) = P 1 (ω 1 ) · P 1 (ω 2 ) · . . . · P 1 (ω n ).20

21(b) barem 2 kuglice;(c) barem 4 kuglice;(d) najviše 5 kuglica?DZ 6.5. U svakom slučajnom pokusu (koji su nezavisni) dogadaj A pojavljuje se s vjerojatnošću0.25. Izračunajte vjerojatnost da će se u 7 izvodenja pokusa dogadaj A pojavitiparan broj puta. 2Definicija 6.6. Neka je Ω 1 = {ω 1 , ω 2 , . . . , ω k }, P 1 : P(Ω 1 ) → [0, 1] vjerojatnost naΩ 1 t. d. je P 1 ({ω i }) = p i , i = 1, 2, . . . k. Generalizirana Bernoullijeva shema jediskretni vjerojatnosni prostor (Ω, F, P ) gdje je Ω = Ω n 1 i P = P1 n .Napomena 6.2. Generalizirana Bernoullijeva shema niz je od n ponovljenih nezavisnihpokusa s tim da u svakom pokusu imamo k (dakle, konačno mnogo) ishoda.Korolar 6.7. Neka su Ω, P , p i kao u definiciji 6.6. te neka je ω ∈ Ω. Tada jeP ({ω}) = p n 11 · p n 22 · . . . p n kk ,gdje je n i broj pojavljivanja ω i u nizu ω = (ω i1 , . . . , ω in ). Jasno, vrijediStavimok∑n i = n.i=1A(n 1 , . . . , n k ) = {ω ∈ Ω : ω i se u n-torci ω = (ω i1 , . . . , ω in ) pojavljuje n i puta , i = 1, . . . , k}.Tada je P (A(n 1 , . . . , n k )) =n!n 1 ! · . . . · n k ! pn 11 · . . . · p n kk(=: p(n 1 , . . . , n k )).Zadatak 6.8. Na slučajan način nezavisno rasporedujemo 12 kuglica u 3 prazne kutije.Izračunajte vjerojatnost da će:(a) u svaku kutiju biti rasporeden jednak broj kuglica;(b) u jednu kutiju biti rasporedeno 5 kuglica, u jednu 4 i u jednu 3 kuglice.Zadatak 6.9. Bacimo 5 simetričnih kocaka. Kolika je vjerojatnost da padnu točno dvijedvojke i jedna šestica?DZ 6.10. Na jednom šahovskom turniru nastupa i Matko Fizić. On će na turniruodigrati 16 partija, nezavisno jednu od druge. Vjerojatnost da Matko u pojedinoj partijipobijedi iznosi 4, da remizira 1 i da izgubi 2 . Kolika je vjerojatnost da će na kraju7 7 7turnira Matko imati 7 pobjeda, 5 remija i 4 poraza?2 Nula se računa kao paran broj.

Poglavlje 7Granični teoremi u BernoullijevojshemiTeorem 7.1. (Lokalni Moivre-Laplaceov teorem)Neka je p ∈ (0, 1), X n ∼ B(n, p) i x k = k − np √ npq, k = 0, 1, . . . , n (q = 1 − p). Tadavrijedi√ 2πnpq P (Xn = k)lim= 1n→∞e − x2 k2i to uniformno na svakom ograničenom segmentu [a, b], a x k b, za sve k i n.Napomena 7.1. Dakle, za velike n vrijediP (X n = k) ≈ √ 1 1 · √ e − (k−np)22npq.npq 2πStavimo ϕ(x) = 1 √2πe − x22 . 1 Tada za velike n vrijediP (X n = k) ≈ √ 1 ( k − npϕ √). (7.1)npq npqTeorem 7.2. (Integralni Moivre-Laplaceov teorem)Neka je p ∈ (0, 1) i X n ∼ B(n, p) (n ∈ N). Tada za proizvoljne a, b ∈ R (a < b) vrijedi(lim P a X n − np√n→∞ npq) b = 1√2π∫ bae − x22 dx.1 Funkcija ϕ naziva se Gaussova ili normalna funkcija i njezine su vrijednosti tabelirane, npr. uMatematičkom priručniku Bronštejna i Semendjajeva.22

23Korolar 7.3. StavimoΦ(x) =∫ x0ϕ(t) dt = √ 1 ∫ x2πΦ je monotono rastuća i neparna funkcija (Φ(−x) = −Φ(x)) te vrijedi Φ(0) = 0. Tadaza velike n vrijedi( b − np) ( a − npP (a X n b) ≈ Φ √ − Φ √). 2 (7.2)npq npq0e − t2 2Za ɛ > 0 i velike n vrijedi sljedeća formula(∣ ∣∣ X∣ ) ( √n ∣∣ n)Pn − p < ɛ ≈ 2Φ ɛ .pqNapomena 7.2. Obično se formule (7.1) i (7.2) primjenjuju ako je √ npq 10.dt.Zadatak 7.4. Simetričan novčić bacamo 100 puta.pasti točno 50 puta?Kolika je vjerojatnost da će grbZadatak 7.5. Zadana su dva kruga K 1 = K(0, r) i K 2 = K(0, 2r) (r > 0). Na slučajanse način odabire 1000 točaka unutar većeg kruga. Izračunajte vjerojatnost da će se:(a) točno 700 od tih 1000 točaka nalaziti unutar kružnog vijenca odredenim sa ta dvakruga;(b) barem 720 točaka nalaziti u kružnom vijencu.Zadatak 7.6. Koliko (najmanje) puta moramo baciti par igraćih kocaka da bi se svjerojatnošću 0.95 dogodilo da barem 100 puta zbroj brojeva koji su pali na kockamabude jednak 7?Zadatak 7.7. Kolika je vjerojatnost da će se prilikom 3600 bacanja simetričnog novčićarelativna frekvencija dobivanja pisma razlikovati po apsolutnoj vrijednosti od 0.5 zamanje od 0.01?DZ 7.8. Koliko puta treba baciti simetričnu kocku da bi relativna frekvencija dobivanjašestice s vjerojatnošću 0.95 bila izmedu 19 i 21?120 120DZ 7.9. Na prijemnom ispitu se rješava 40 zadataka. Za svaki su zadatak ponudena4 odgovora od kojih je samo jedan točan. Za točno zaokruženi odgovor dobiva se 15bodova, a za netočan gubi se 5 bodova. Pod pretpostavkom da odgovorite na svakopitanje, izračunajte vjerojatnost da slučajnim odabirom ponudenih odgovora prijedeteklasifikacijski prag od 120 bodova.2 Ova se formula koristi u primjenama jer su vrijednosti funkcije Φ tabelirane (npr. u Matematičkompriručniku Bronštejna i Semendjajeva).

Poglavlje 8Matematičko očekivanje i varijancadiskretnih slučajnih varijabliDefinicija 8.1. Neka je (Ω, P(Ω), P ) diskretni vjerojatnosni prostor, Ω = {ω 1 , ω 2 , . . .} iX slučajna varijabla na Ω. Ako red ∑ ω k ∈ΩX(ω k )P ({ω k }) apsolutno konvergira, tada njegovusumu zovemo (matematičko) očekivanje slučajne varijable X i označujemosaEX = ∑ ω k ∈ΩX(ω k )P ({ω k }).Teorem 8.2. Neka jeX ∼(a1 a 2 . . .p 1 p 2 . . .)zakon razdiobe slučajne varijable X. Redovi ∑ ω k ∈ΩX(ω k )P ({ω k }) i ∑ ia i p i istodobno iliapsolutno konvergiraju ili apsolutno divergiraju. U slučaju apsolutne konvergencije sumaim je ista, dakle vrijediEX = ∑ a i p i .iKorolar 8.3. (Svojstva matematičkog očekivanja)(1) X = konstanta = c (c ∈ R) 1 ⇒ EX = c.(2) Neka je X slučajna varijabla s distribucijom X ∼proizvoljna funkcija. Tada vrijedi(a1 a 2 . . .p 1 p 2 . . .)i g : R → RE[g(X)] = ∑ ig(a i )p i1 X(ω) = c za sve ω ∈ Ω.24

25(uz pretpostavku da red ∑ ig(a i )p i apsolutno konvergira).(3) Neka su X i Y diskretne slučajne varijable koje imaju (konačna) očekivanja iα, β ∈ R. Tada slučajna varijabla αX + βY takoder ima očekivanje i vrijediE(αX + βY ) = αEX + βEY. 2(4) Neka slučajna varijabla X ima očekivanje i neka je X 0. 3 Tada je EX 0.(5) Neka slučajne varijable X i Y imaju očekivanje i neka je X Y . 4 Tada jeEX EY .Primjer 8.1. Neka je sa( )−1 0 1X ∼13dan zakon razdiobe slučajne varijable X. Odredimo EX i EX 2 . Koristeći Teorem 8.2.dobivamoEX = −1 · 13 + 0 · 13 + 1 · 13 = 0.Nadalje, iz Korolara (8.3.) (svojstvo (2) primijenjeno na funkciju g(x) = x 2 ) slijediEX 2 = (−1) 2 · 13 + 02 · 13 + 12 · 13 = 2 3 .1313Definicija 8.4. Neka je X diskretna slučajna varijabla s konačnim očekivanjem. Tadase varijanca od X definira saako očekivanje od (X − EX) 2 postoji.VarX = E[(X − EX) 2 ],( )a1 aKorolar 8.5. Neka je sa X ∼2 . . .p 1 p 2 . . .X koja ima (konačnu) varijancu. Tada vrijedidan zakon razdiobe slučajne varijableVarX = ∑ i(a i − EX) 2 p i .2 Ovo se svojstvo naziva linearnost matematičkog očekivanja.3 X(ω) 0 za sve ω ∈ Ω.4 X(ω) Y (ω) za sve ω ∈ Ω.

26Zadatak 8.6. Neka slučajna varijabla X ima konačnu varijancu. Dokžite da vrijedisljedeća formulaVarX = EX 2 − (EX) 2 .( −1 0 2Zadatak 8.7. Neka je sa X ∼Odredite varijancu od X.131313)dan zakon razdiobe slučajne varijable X.Definicija 8.8. Neka je X diskretna slučajna varijabla i r ∈ R, r > 0. r-ti momentα r od X definira se saα r = E(X r ),ako očekivanje E(X r ) postoji. r-ti apsolutni moment β r od X definira se saako očekivanje E(|X| r ) postoji. 5β r = E(|X| r ),( )a1 aNapomena 8.2. Neka je sa X ∼2 . . .dan zakon razdiobe slučajne varijablep 1 p 2 . . .X za koju postoji r-ti apsolutni moment (pa onda i r-ti moment). Tada vrijediα r = ∑ ia r i p i ,β r = ∑ i|a i | r p i .( −1 0 1 2DZ 8.9. Neka je X ∼12141818). Izračunajte α 3 i β 3 .Propozicija 8.10. Neka je X slučajna varijabla za koju postoji varijanca i neka sua, b ∈ R. Tada jeVar (aX + b) = a 2 VarX.DZ 8.11. Dokažite Propoziciju 8.10.Teorem 8.12. Neka su X 1 , . . . , X n nezavisne slučajne varijable i neka postoji VarX i , i =1, . . . , n. Tada je( n∑ ) n∑Var X i = VarX i .i=1i=15 Iz ove definicije odmah proizlazi da X ima r-ti moment ako i samo ako X ima r-ti apsolutni moment.

27Zadatak 8.13. Odredite matematičko očekivanje i varijancu slučajnih varijabli definiranihu Primjeru 5.3.DZ 8.14. Neka je X ∼ B(n, p). Odredite VarX bez korištenja Teorema 8.12.( )1 2 3 4 6Zadatak 8.15. (a) Odredite konstantu c > 0 tako da je s X ∼c c − c 2 4c 2 1 c 2 4definiran zakon razdiobe od X.(b) Izračunajte P (2 < X 4).(c) Odredite najmanji k ∈ N takav da je P (X k) 1 2 .(d) Odredite EX i VarX.Teorem 8.16. Slučajne varijable X 1 , . . . , X n definirane ( na diskretnom)vjerojatnosnomprostoru (Ω, F, P ), zadane svojom distribucijom X i ∼a (i)1 a (i)2 . . .p (i)1 p (i)2 . . .(i = 1, . . . , n),su nezavisne ako i samo ako vrijedin∏P (X 1 = a (1)i 1, . . . , X k = a (n)i n) =za sve i 1 , . . . , i n .Teorem 8.17. Neka su X 1 , . . . , X n nezavisne slučajne varijable na diskretnom vjerojatnosnomprostoru (Ω, F, P ) i neka su g i : R → R (i = 1, . . . , n) proizvoljne funkcije.Tada su slučajne varijable g 1 (X 1 ), . . . , g n (X n ) nezavisne.Teorem 8.18. Neka su slučajne varijable X 1 , . . . , X n nezavisne i neka postoji EX i (i =n∏1, . . . , n). Tada slučajna varijabla X i ima očekivanje i vrijedii=1( ∏ n )E X i =i=1n∏EX i .Zadatak 8.19. Provjeri da li vrijedi obrat Teorema 8.18.DZ 8.20. Neka je X ∼ P (λ), λ > 0. Stavimo Y = 1 . Odredite zakon razdiobe od1 + XY i E(XY ).DZ 8.21. Neka su X, Y, Z slučajne varijable nezavisne u parovima (tj. X i Y su nezavisne,X i Z su nezavisne, Y i Z su nezavisne). Dokažite da tada vrijedii=1j=1p (j)i jVar (X + Y + Z) = VarX + VarY + VarZ.

Poglavlje 9Funkcije gustoće i distribucije.Diskretni slučajni vektoriDefinicija 9.1. Neka je X slučajna varijabla ( na diskretnom ) vjerojatnosnom prostorua1 a(Ω, F, P ) zadana zakonom razdiobe X ∼2 . . .. Funkcija gustoće od X,p 1 p 2 . . .ili kraće, gustoća od X je funkcija f X = f : R → R 1 + definirana sa{ 0, x ≠ aif(x) = P (X = x) =, x ∈ R.p i , x = a iNapomena 9.1. Neka je X diskretna slučajna varijabla. Tada za proizvoljan skup B ⊆ RvrijediP (X ∈ B) = ∑ p i = ∑ f X (x).a i ∈B x∈BDefinicija 9.2. Neka su ispunjeni uvjeti kao u Definiciji 9.1. Funkcija distribucijeslučajne varijable X je funkcija F X = F : R → [0, 1] definirana saF (x) = P (X x) = ∑ a i xp i = ∑ yxf(y),gdje je f funkcija gustoće od X.Propozicija 9.3. (Svojstva funkcije distribucije)Neka je F funkcija distribucije slučajne varijable X te neka je f gustoća od X. Tadavrijedi:(1) F je monotono neopadajuća (x y ⇒ F (x) F (y)).1 R + = {x ∈ R : x 0}.28

29(2) F (−∞) = 0, F (+∞) = 1. 2(3) F je neprekidna zdesna (x = limn→∞x n , x x n ⇒ F (x) = limn→∞F (x n )).(4) Za svaki x ∈ R vrijedi F (x) − F (x−) = f(x). 3(5) F ima prekid u točki x ako i samo ako je P (X = x) = f(x) > 0.Zadatak 9.4. Odredite funkcije gustoće i distribucije slučajne varijable s Bernoullijevomrazdiobom.Zadatak 9.5. Neka je X diskretna slučajna varijabla i a, b ∈ R.vrijedi:(a) P (a < X b) = F (b) − F (a), a < b;Dokažite da tada(b) P (a X b) = F (b) − F (a−), a b;(c) P (a X < b) = F (b−) − F (a−), a < b;(d) P (a < X < b) = F (b−) − F (a), a < b.Zadatak 9.6. Odredite funkcije gustoće i distribucije slučajne varijable X dane zakonomrazdiobe( )1 2 3 4X ∼.Zadatak 9.7. Slučajna varijabla X ima funkciju distribucije⎧0, x < 0⎪⎨ 1F (x) =, 0 x < 141⎪⎩, 1 x < 221, x 2( 1(a) Izračunajte P2 X 3 .2)(b) Odredite zakon razdiobe od X.14141316DZ 9.8. Odredite funkcije gustoće i distribucije (te skicirajte njihove grafove) slučajnevarijable Z dane zakonom razdiobe( )−2 −1 0 1 3X ∼.0.2 0.4 0.1 0.2 0.12 F (±∞) = limx→±∞ F (x).3 F (x−) je limes slijeva funkcije F u točki x.

30Definicija 9.9. Neka je (Ω, F, P ) diskretni vjerojatnosni prostor. Proizvoljnu funkcijuX : Ω → R n nazivamo (diskretni n-dimenzionalan) slučajni vektor (na Ω).Napomena 9.2. n-dimenzionalan slučajni vektor na Ω je zapravo uredena n-torka slučajnihvarijabli na Ω.Napomena 9.3. U nastavku poglavlja ćemo se baviti samo 2-dimenzionalnim slučajnimvektorima.Definicija 9.10. Neka je Z = (X, Y ) 2-dimenzionalan slučajni vektor i neka su distribucijeslučajnih varijabli X i Y dane sa( ) ( )a1 aX ∼2 . . .b1 b, Y ∼2 . . ..p 1 p 2 . . .q 1 q 2 . . .Kažemo da je zadana distribucija (ili zakon razdiobe) slučajnog vektora Z akosu za sve i, j zadani parovi (a i , b j ) ∈ R 2 i brojevip ij = P (Z = (a i , b j )) = P (ω ∈ Ω : X(ω) = a i , Y (ω) = b j ) = P (X = a i , Y = b j ).Definicija 9.11. Funkcija distribucije slučajnog vektora Z = (X, Y ) je funkcijaF Z = F X,Y = F : R 2 → [0, 1] definirana saF (x) = F (x 1 , x 2 ) = P (Z x) = P (X x 1 , Y x 2 ), x = (x 1 , x 2 ) ∈ R 2 .Napomena 9.4. Neka su slučajne varijable X i Y dane zakonima razdiobe kao u Definiciji9.10. te neka ja F funkcija distribucije slučajnog vektora Z = (X, Y ). Tada vrijediF (x) = F (x 1 , x 2 ) =∑p ij = ∑ f(y), x = (x 1 , x 2 ) ∈ R 2 ,yxa i x 1b j x 2gdje je f = f Z = f X,Y : R 2 → R + funkcija gustoće slučajnog vektora Z, ili kraće,gustoća od Z, definirana saf(x) = f(x 1 , x 2 ) = P (Z = x) = P (X = x 1 , Y = x 2 ), x = (x 1 , x 2 ) ∈ R 2 .Nadalje, za proizvoljnu funkciju g : R 2 → R vrijediE[g(X, Y )] = ∑ i,jg(a i , b j )p ij .Posebno, za g(x, y) = xy dobivamo E(XY ) = ∑ i,ja i b j p ij .

31Definicija 9.12. Neka je ̂X = (X 1 , . . . , X n ) n-dimenzionalan slučajni vektor i nekapostoje EX 2 i , i = 1, . . . , n. Stavimoµ ij = E[(X i − EX i )(X j − EX j )] = E(X i X j ) − EX i EX j , i, j = 1, . . . , n.Za i ≠ j, µ ij zovemo kovarijanca slučajnih varijabli X i , X j i često označujemocov (X i , X j ). Ako je µ ii > 0 i µ jj > 0, tada brojρ ij =µ ij√ , i ≠ j,µii µ jjzovemo koeficijent korelacije izmedu slučajnih varijabli X i i X j .DZ 9.13. Neka su X i Y nezavisne slučajne varijable te neka postoje EX i EY .Pokažite da je tada cov (X, Y ) = 0.Definicija 9.14. Slučajne varijable X i Y su nekorelirane ako je cov (X, Y ) = 0.Napomena 9.5. U zadatku 9.15. pokazati ćemo da postoje nekorelirane slučajne varijablekoje nisu nezavisne. Dakle, ne vrijedi obrat tvrdnje iz DZ 9.13.Zadatak 9.15. Neka su X, Y ∼ B(1, 0.5) nezavisne slučajne varijable. Da li su tada islučajne varijable X + Y i |X − Y | nezavisne? Izračunajte cov (X + Y, |X − Y |).Zadatak 9.16. U kutiji se nalazi 25 kuglica numeriranih brojevima 1, 2, . . . , 25.slučajan način izvlačimo jednu kuglicu. Neka je X slučajna varijabla definirana sa{ 0, ako je broj na izvučenoj kuglici djeljiv s 3X =1, inačete Y slučajna varijabla definirana sa{ 0, ako je broj na izvučenoj kuglici paranY =1, inačeOdredite:(a) distribuciju slučajnog vektora Z = (X, Y );(b) distribucije slučajnih varijabli X i Y ;(c) uvjetnu vjerojatnost P (X = 1 | Y = 1).NaDZ 9.17. Za slučajne varijable X i Y iz Zadatka 9.16. nadite cov (X, Y ) i koeficijentkorelacije izmedu X i Y te provjerite jesu li X i Y nezavisne slučajne varijable.Zadatak 9.18. Zajednička distribucija slučajnih varijabli X i Y (odnosno, distribucijaslučajnog vektora (X, Y )) dana je saP (X = 0, Y = 1) = P (X = 0, Y = −1) = P (X = 1, Y = 0) = P (X = −1, Y = 0) = 1 4 .Odredite VarX, VarY i cov (X, Y ). Provjerite da li su X i Y nezavisne slučajne varijable.

Poglavlje 10Funkcije izvodniceDefinicija 10.1. Neka je X cjelobrojna slučajna varijabla, tj. slučajna varijabla kojaprima samo nenegativne cjelobrojne vrijednosti. Stavimo p k = P (X = k), k ∈ N ∪ {0}.Funkciju g definiranu sag(z) =∞∑p k z k = p 0 + p 1 z + p 2 z 2 + . . . , z ∈ R, |z| 1k=0zovemo funkcija izvodnica od X i označavamo je sa g X .Propozicija 10.2. Ako cjelobrojna slučajna varijabla X ima konačnu varijancu, tadaje njena funkcija izvodnica g dva puta diferencijabilna u točki z = 1 i vrijediEX = g ′ (1), VarX = g ′′ (1) + g ′ (1) − [g ′ (1)] 2 .Teorem 10.3. Neka su X 1 , . . . , X n nezavisne cjelobrojne slučajne varijable. Stavimon∑S n = X k . Tada vrijedik=1n∏g Sn (z) = g Xk (z).k=1Zadatak 10.4. Bacamo tri simetrične kocke (nezavisno).suma brojeva koji su pali na kockama biti jednaka 9.Nadite vjerojatnost da ćeZadatak 10.5. Bacamo nesimetričnan novčić sve dok ne padne (prvi put) glava. Označimosa X broj pisama koji su pali do prvog pada glave. Nadite EX i VarX.Napomena 10.1. Cjelobrojne slučajne varijable X i Y imaju iste zakone razdiobe ako isamo ako je g X = g Y .32

33DZ 10.6. Neka su X 1 , . . . , X n nezavisne slučajne varijable, X k ∼ P (λ k ) (k = 1, . . . n).n∑( n∑Stavimo S n = X k . Dokažite da je S n ∼ P λ k).k=1k=1DZ 10.7. Automatski stroj, pri normalnoj regulaciji, može proizvesti škart s vjerojatnošćup. Podešavanje rada stroja izvodi se odmah nakon dobijanja škarta. Ako sa Xoznačimo broj svih proizvoda izmedu dva podešavanja stroja, nadite EX.

Poglavlje 11Neprekidne slučajne varijableU ovom ćemo poglavlju prvo definirati slučajne varijable na proizvoljnom vjerojatnosnomprostoru pa ćemo pažnju obratiti na neprekidne slučajne varijable.Definicija 11.1. Neka jeU = {U ⊆ R : U je otvoreni skup}familija svih otvorenih podskupova od R. σ-algebru generiranu familijom U, tj. najmanjuσ-algebru koja sadrži familiju U zovemo Borelova σ-algebra i označujemo je sa B =σ(U). 1 Elemente σ-algebre B zovemo Borelovi skupovi.Definicija 11.2. Neka je (Ω, F, P ) vjerojatnosni prostor. Funkcija X : Ω → R jestslučajna varijabla (na Ω) ako je X −1 (B) ∈ F za svaki B ∈ B.Definicija 11.3. Funkcija g : R → R jest Borelova funkcija ako je g −1 (B) ∈ B zasvaki B ∈ B.Napomena 11.1. Svaka neprekidna funkcija : R → R je Borelova. Takoder, svaka rastuća(ili padajuća) funkcija g : R → R je Borelova. Odavde slijedi da nisu sve Borelovefunkcije neprekidne. 2Definicija 11.4. Neka je X slučajna varijabla na vjerojatnosnom prostoru (Ω, F, P ).Funkcija distribucije slučajne varijable X je funkcija F X : R → [0, 1] definiranasaF X (x) = P (X x), x ∈ R.1 Može se pokazati da σ-algebra { B postoji te da je jednaka presjeku svih σ-algebri koje sadrže U.0, x < 02 Naprimjer, funkcija g(x) = je Borelova, iako nije neprekidna.1, x 134

35Definicija 11.5. Neka je X slučajna varijabla na vjerojatnosnom prostoru (Ω, F, P ).Kažemo da je X (apsolutno) neprekidna slučajna varijabla ako postoji nenegativnaBorelova funkcija f : R → R + tako da vrijediF X (x) =∫ x−∞f(t) dt, x ∈ R. 3Funkciju f zovemo funkcija gustoće (ili samo gustoća) od X.Napomena 11.2. Neka je X neprekidna slučajna varijabla s funkcijom gustoće f. Tadavrijedi:∫(1) P (X ∈ B) = f(t) dt, B ∈ B;B(2) F X ′ = f (na otvorenom intervalu);(3) P (X = x) = 0 za svaki x ∈ R.Propozicija 11.6. Neka je f : R → R Borelova funkcija. Da bi f bila funkcija gustoćeneke neprekidne slučajne varijable, nužno je i dovoljno da vrijedi:(1) f(x) 0 za svaki x ∈ R;(2)∫ ∞−∞f(x) dx = 1.Primjer 11.3. (Osnovne neprekidne slučajne varijable)(1) Slučajna varijabla X ima uniformnu distribuciju na segmentu [a, b], a < b, akojoj je gustoća dana sa⎧f(x) = 1⎨ 1b − a K [a,b](x) = b − a , a x b , x ∈ R. 4⎩0, inačeOznaka: X ∼ U(a, b).∫3 Ovdje bi zapravo trebao stajati Lebesgueov integral F X (x) =(−∞,x]f(t) dλ(t), ali kako navedenipojam prelazi izvan okvira ovog kolegija te ćemo mi raditi samo sa neprekidnim slučajnim varijablamakod kojih se Lebesgueov integral poklapa s Riemannovim, zadržati ćemo (nepravi) Riemannov integralu Definiciji 11.5.4 K A je karakteristična funkcija skupa A, definirana sa K A (x) ={ 1, x ∈ A0, x ≠ A .

36(2) Slučajna varijabla X ima eksponencijalnu distribuciju s parametrom λ > 0ako joj je gustoća dana saOznaka: X ∼ Exp (λ).f(x) = λe −λx K (0,+∞) (x), x ∈ R.(3) Slučajna varijabla X ima dvostruku eksponencijalnu distribuciju s parametromλ > 0 ako joj je gustoća dana saOznaka: X ∼ Dexp (λ).f(x) = 1 2 λe−λ|x| , x ∈ R.(4) Slučajna varijabla X ima Cauchyjevu distribuciju s parametrima a i b (a > 0)ako joj je gustoća dana saf(x) =aπ[a 2 + (x − b) 2 ] , x ∈ R.Oznaka: X ∼ C(a, b).X ima jediničnu Cauchyjevu distribuciju ako je X ∼ C(1, 0).(5) Slučajna varijabla X ima normalnu distribuciju s parametrima µ i σ 2 (σ > 0)ako joj je gustoća dana saf(x) = 1σ √ (x−µ)2e− 2σ 2 , x ∈ R.2πOznaka: X ∼ N(µ, σ 2 ).X ima jediničnu normalnu distribuciju ako je X ∼ N(0, 1).(6) Slučajna varijabla X ima gama-distribuciju s parametrima α i β (α, β > 0) akojoj je gustoća dana sagdje je Γ(x) =∫ ∞0f(x) =1Γ(α)β α xα−1 e − x β K(0,+∞) (x), x ∈ R,e −t t x−1 dt (x > 0) gama-funkcija. 5 Oznaka: X ∼ Γ(α, β).(7) Slučajna ( varijabla X ima χ 2 -distribuciju s parametrom n (n ∈ N) ako je X ∼n)Γ2 , 2 . Oznaka: X ∼ χ 2 (n), pri čemu n zovemo broj stupnjeva slobode od X.( 1 5 Vrijedi: Γ(x + 1) = xΓ(x), Γ(1) = 1, Γ =2) √ π i Γ(n + 1) = n! (n ∈ N).

37(8) Slučajna varijabla X ima Studentovu t-distribuciju s n stupnjeva slobode (n ∈N) ako joj je gustoća dana saOznaka: X ∼ t (n).f(x) = √ 1 n+1 Γ( · ) (2nπ Γ( n) 21 + x2n) −n+12, x ∈ R.(9) Slučajna varijabla X ima beta-distribuciju s parametrima p i q (p, q > 0) akojoj je gustoća dana saf(x) = xp−1 (1 − x) q−1K (0,1) (x), x ∈ R,B(p, q)gdje je B(x, y) =B(p, q).∫ 10t x−1 (1 − t) y−1 dt (x, y > 0) beta-funkcija.Oznaka: X ∼Zadatak 11.7. Pokažite da su uniformna i eksponencijalna distribucija dobro definirane.DZ 11.8. Pokažite da su dvostruka eksponencijalna i Cauchyjeva distribucija dobrodefinirane.Zadatak 11.9. Neprekidna slučajna varijabla X zadana je svojom gustoćomOdredite:(a) konstantu A;(b) funkciju distribucije od X;((c) P 0 X < 1 ).2f(x) = Ax 2 e −2x K [0,+∞) (x), x ∈ R.DZ 11.10. Odredite konstantu B ∈ R tako da funkcijaf(x) = Bx 2 K [0,2] (x), x ∈ R,bude funkcija gustoće neke neprekidne slučajne varijable, koju označimo s X. Odreditei funkciju distribucije od X te izračunajte P (X ∈ [0, 1]).

Poglavlje 12Matematičko očekivanje i varijancaneprekidnih slučajnih varijabliDefinicija 12.1. Neka je X neprekidna slučajna varijabla s gustoćom f. Matematičkoočekivanje (ili kraće očekivanje) od X, u oznaci EX, definiramo saEX =∫ +∞−∞tf(t) dt,ako taj integral postoji. Varijancu od X, u oznaci VarX, definiramo saVarX =∫ +∞−∞(t − EX) 2 f(t) dt,ako taj integral postoji (uz pretpostavku da postoji i EX).Napomena 12.1.(1) Ako neprekidna slučajna varijabla X ima varijancu, tada vrijediVarX = EX 2 − (EX) 2 .(2) Neka je X neprekidna slučajna varijabla te g : R → R Borelova funkcija. Tadavrijediako taj integral postoji.E[g(X)] =∫ +∞−∞g(t)f(t) dt,Zadatak 12.2. Izračunajte očekivanje i varijancu slučajne varijable s uniformnom razdiobom.DZ 12.3. Neka je X ∼ Exp (λ). Dokažite da je EX = 1 λ i VarX = 1 λ 2 .38

39DZ 12.4. Neka je X ∼ Dexp (λ). Dokažite da je EX = 0 i VarX = 2 λ 2 .Zadatak 12.5. Neka je X ∼ N(µ, σ 2 ). Izračunajte EX i VarX.Zadatak 12.6. Dana je funkcijaf(x) = kxK [2,4] (x), x ∈ R.(a) Odredite konstantu k tako da f bude funkcija gustoće neke neprekidne slučajnevarijable, koju označimo s X.(2) Izračunajte P (2 X 3).(3) Izračunajte EX i VarX.DZ 12.7. Dana je funkcijaf(x) = A cos xK [−π2 , π 2 ] (x), x ∈ R.Odredite konstantu A tako da f bude funkcija gustoće neke neprekidne slučajne varijable,koju označimo s X. Pronadite funkciju distribucije od X te izračunajte EX i VarX.

Poglavlje 13Normalna razdioba. Centralnigranični teoremNapomena 13.1. Za X ∼ N(µ, σ 2 ) vrijedi:(1) P (a X b) =∫ bfunkcija gustoće od X;af(x) dx (a < b), gdje je f(x) =1σ √ 2πe−(x−µ)22σ 2 , x ∈ R,(2) EX = µ i VarX = σ 2 ;(3) Y = X − µ ∼ N(0, 1);σ( b − µ) ( a − µ)(4) P (a X b) = Φ − Φ (a < b), gdje je Φ(x) = 1 ∫ x√σσ2π 0x ∈ R;( ɛ)(5) P (|X − µ| ɛ) = 2Φ (ɛ > 0).σe − t2 2dt,Zadatak 13.1. Na temelju mnogobrojnih mjerenja u nekoj se regiji došlo do zaključka daje visina muškaraca u toj regiji normalno distribuirana s očekivanjem µ = 170 cm i standardnomdevijacijom (to je pozitivni drugi korijen iz varijance) σ = 6 cm. Izračunajtevjerojatnost da visina slučajno izabranog muškarca u toj regiji bude u granicama od182 cm do 191 cm.Zadatak 13.2. Neka je X ∼ N(µ, σ 2 ). Izračunajte P (µ − 3σ X µ + 3σ).Zadatak 13.3. Neka je X ∼ N(16, 16). Nadite simetričan interval oko točke µ = 16 ukojem slučajna varijabla X poprima vrijednosti s vjerojatnošću:(a) 0.95;40

41(b) 0.99.Zadatak 13.4. Neka je X ∼ N(0, 1). Izračunajte:(a) P (X −1.64);(b) P (−1.96 X 1.96);(c) P (|X| 1).DZ 13.5. Alatni stroj proizvodi odredene proizvode. Na temelju brojnih mjerenja zapaženoje da je duljina X gotovih proizvoda normalna slučajna varijabla za koju je µ = 20 cm iσ = 0.2 cm. Odredite vjerojatnost da će se duljina slučajno izabranog gotovog proizvodanalaziti u granicama od 19.7 cm do 20.3 cm.DZ 13.6. Neka je X ∼ N(2, 9). Odredite P (X 2 > 3).Teorem 13.7. (Centralni granični teorem za Bernoullijevu shemu)Neka je X ∼ B(n, p). Za velike n, X je približno normalna slučajna varijabla sparametrima np i npq (q = 1 − p), tj. za velike n vrijedi(P a X √ − np ) b ≈ 1 ∫ b√ e − x22 dx (a < b).npq2πTeorem 13.8. (Lévyjev centralni granični teorem)Neka je (X n ) niz nezavisnih, jednako distribuiranih slučajnih varijabli (tj. slučajne varijableX 1 , X 2 , . . . imaju jednaku distribuciju) s očekivanjem µ i varijancom σ 2 > 0 1 in∑neka je S n = X i (n ∈ N). Tada vrijedii=1(lim P a S n − nµ)n→∞ σ √ n b = 1√2π∫ baae − x22 dx = Φ(b) − Φ(a) (a < b).Zadatak 13.9. Pretpostavimo da u nekom gradu imamo 200 000 automobila. Neka jeprosječna potrošnja benzina po automobilu tjedno µ = 50 litara sa standardnim odstupanjemσ = 8 litara. Da li je dovoljno tjedno osigurati 10 000 000 litara benzina pa dane bude nestašice?Zadatak 13.10. Proizvodnja meda u sezoni po jednoj košnici iznosi 4 kg sa standardnimodstupanjem 0.5 kg. Koliko košnica treba imati da bi s vjerojatnošću 0.97 ukupnaproizvodnja meda bila barem 800 kg?DZ 13.11. Broj automobila koji produ kroz jedno križanje tijekom jedne minute jeslučajna varijabla s Poissonovom razdiobom P (6). Kolika je vjerojatnost da će tijekom2 sata kroz križanje proći barem 700 automobila?1 Vrijedi: EX 1 = EX 2 = . . . = µ i VarX 1 = VarX 2 = . . . = σ 2 .

Poglavlje 14Osnove deskriptivne statistike.Linearna korelacijaOsnovni pojam u statistici jest skup nekih elemenata čija zajednička svojstva izučavamo.Taj skup zovemo populacija, a njegove elemente statističke jedinice. Kod svakog elementapopulacije zanimati će nas neka njegova numerička karakteristika, koju zovemo(statističko) obilježje.Neka populaciju čini skup Ω = {ω 1 , ω 2 , . . .}. Obilježje X elemenata populacije Ω,svakom elementu ω i ∈ Ω pridružuje odredenu numeričku karakteristiku X(ω i ). Prematome, obilježje X elemenata populacije Ω, jest funkcija X : Ω → R.Primjer 14.1. Neka populaciju čine svi stanovnici u nekom gradu. Jedno obilježje elemenatapopulacije je naprimjer visina svakog stanovnika.Definicija 14.1. Neka populacija Ω ima ukupno N elemenata i neka je X obilježjepopulacije Ω, dakle je X : Ω → R. Kako je skup Ω konačan, funkcija X poprimakonačno mnogo različitih realnih vrijednosti. Neka su x 1 , . . . , x k sve različite vrijednostiobilježja X. Za i = 1, . . . , k neka je N i broj elemenata ω iz populacije Ω za kojeje X(ω) = x i . 1 Razdiobu obilježja X čine vrijednosti x 1 , . . . , x k s odgovarajućimbrojevima N 1 , . . . , N k . Broj N i zovemo frekvencija vrijednosti x i , broj N irelativnaNfrekvencija vrijednosti x i , a broj N zovemo duljina populacije.Napomena 14.2. Često je populacija prevelika te ne možemo lako ni bez velikih troškovaispitati obilježje kod svakog elementa populacije. Naprimjer, ako populaciju čine svežarulje proizvedene u nekoj tvornici žarulja u jednom mjesecu i ako je obilježje vrijemetrajanja žarulje, tada bismo ispitivanjem vijeka trajanja svake žarulje (prije puštanjau prodaju) zapravo uništili cijelu proizvodnju žarulja u tom mjesecu. Zato se često izpopulacije izdvaja jedan dio elemenata te se na njemu ispituje obilježje pa se dobivenirezultati poopćavaju na cijelu populaciju. Ostaje pitanje ”reprezentativnosti” takvog1 Vrijedi N 1 + . . . + N k = N.42

43dijela populacije (tj. u kolikoj mjeri navedeni dio populacije reprezentira cijelu populaciju).Osnovni kriterij za reprezentativnost, odnosno za način izbora dijela populacijeje da se razdiobe obilježja na izabranom dijelu populacije i na cijeloj populaciji što manjerazlikuju. 2Definicija 14.2. Konačan dio populacije koji se na odredeni način izdvaja iz populacijeradi ispitivanja nekog obilježja naziva se uzorak. 3 Broj elemenata u uzorku zovemoduljina uzorka.Definicija 14.3. Neka je X obilježje na populaciji Ω. Jednostavan slučajni uzorakduljine n za obilježje X je niz od n nezavisnih i jednako distribuiranih slučajnih varijabliX 1 , . . . , X n od kojih svaka ima isti zakon razdiobe kao i obilježje X.Definicija 14.4. Aritmetička sredina od n (realnih) brojeva x 1 , . . . , x n je brojx = x 1 . . . + x nn= 1 nn∑x i .Definicija 14.5. Ako je u uzorku duljine n vrijednost x i obilježja X registrirana n i puta(i = 1, . . . , k), 4 tada se broji=1x = x n = n 1x 1 + . . . + n k x kn 1 + . . . + n knaziva aritmetička sredina uzorka.= 1 nk∑n i x ii=1Definicija 14.6. Ako je u uzorku duljine n vrijednost x i obilježja X registrirana n i puta(i = 1, . . . , k), tada se brojσ 2 = σ 2 n = n 1(x 1 − x n ) 2 + . . . n k (x k − x n ) 2n= 1 nnaziva disperzija ili varijanca uzorka, dok se brojσ = σ n = √ 1 k∑n i (x i − x n )n2i=1k∑n i (x i − x n ) 2i=1naziva standardno odstupanje ili stnadardna devijacija uzorka.2 Jedan način da se postigne reprezentativnost izabranog dijela je, popularno rečeno, slučajni izbordijela populacije. Reprezentativnošću izabranog dijela populacije bavi se matematička statistika.3 Pod uzorkom takoder razumijevamo i niz vrijednosti promatranog obilježja na izdvojenim elementimapopulacije.4 Očito vrijedi n 1 + . . . + n k = n.

44Zadatak 14.7. Prilikom ispitivanja opravdanosti otvaranja jednog rudnika, u 30 probaizmjereni su podaci sadržaja rude u uzetim uzorcima:2.3 1.0 0.2 3.2 2.5 2.41.3 0.6 0.5 3.0 1.6 2.01.4 0.9 2.2 1.2 0.7 1.80.6 2.0 2.0 2.7 2.0 2.02.5 1.0 1.8 2.0 1.2 1.3(a) Formirajte razdiobu obilježja za pojedinačne vrijednosti.(b) Formirajte razdiobu obilježja po intervalima vrijednosti i to za 6 intervala jednakeduljine.(c) Nacrtajte pripadni poligon i histogram frekvencija za razdiobu pod (b).(d) Izračunajte aritmetičku sredinu i varijancu uzorka koristeći sve podatke (pod (a))i intervalno predstavljanje (pod (b)).DZ 14.8. Radi kontrole optičkog instrumenta, jedna udaljenost mjerena je 16 puta usličnim uvjetima. Dobiveni su sljedeći rezultati (u metrima):890 879 895 882898 885 883 902901 895 894 896883 895 902 911Odredite srednju izmjerenu udaljenost (aritmetičku sredinu) i standardno odstupanjemjerenja.DZ 14.9. Prilikom ispitivanja prinosa jedne vrste pšenice na odredenom zemljištu, dobivenisu prinosi na 93 parcele:prinos (mc) 0 − 7 7 − 15 15 − 23 23 − 31 31 − 39 39 − 47 47 − 55 55 − 63broj parcela 17 18 23 17 9 6 2 1(a) Nacrtajte histogram frekvencija.(b) Odredite srednji prinos i standardno odstupanje.Zadatak 14.10. Neka je X 1 , X 2 , X 3 jednostavan slučajni uzorak duljine 3 iz populacijes obilježjem X ∼ N(5, 9). Kolika je vjerojatnsot da najmanji element u tom uzorku budeveći od 7?

45DZ 14.11. Kolika je vjerojatnost da u Zadatku 14.10. najveći element uzorka bude većiod 4?Zadatak 14.12. Izračunajte vjerojatnost da točno 3 elementa jednostavnog slučajnoguzorka duljine 5 iz populacije s obilježjem X koje ima gustoćubudu pozitivna.f(x) = 1 2 (x + 1)K (−1,1)(x), x ∈ R,Napomena 14.3. Pretpostavimo da su X i Y dva obilježja na istoj populaciji. Ako se izpopulacije uzme slučajni uzrok duljine n i ako se kod svakog elementa uzorka registrirajuvrijednosti obilježja X i Y , dobije se niz od n uredenih parova realnih brojeva:(x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), . . . , (x n , y n ),gdje je x i vrijednost obilježja X, a y i vrijednost obilježja Y na i-tom elementu uzorka.Ako se parovi (x 1 , y 1 ), . . . , (x n , y n ) prikažu grafički u x, y-ravnini, dobije se nakupinatočaka koja se zove dijagram raspršenja.Definicija 14.13. Metoda najmanjih kvadrata je metoda pridruživanja pravcay r (x) = ax + b nakupini točaka (x 1 , y 1 ), . . . , (x n , y n ) tako da veličinaS(a, b) =n∑(y i − ax i − b) 2i=1ima najmanju vrijednost. Pravac dobiven na ovaj način zovemo pravac regresije odY u odnosu na X.Napomena 14.4. Neka su u uzorku duljine n registrirane vrijednosti obilježja X i Y ineka je dobivena n-torka uredenih parova (x 1 , y 1 ), . . . , (x n , y n ). Uvodimo oznake:x = 1 nn∑x i , y =i=1n∑y i ,i=1σ 2 x = 1 nn∑(x i − x) 2 , σy 2 = 1 ni=1n∑(y i − y) 2 .i=1DZ 14.14. Pokažite da vrijede sljedeće formule:σ 2 x = 1 nn∑x 2 i − x 2 ,i=1σ 2 y = 1 nn∑yi 2 − y 2 .i=1

46Definicija 14.15. Kovarijanca niza n uredenih parova vrijednosti obilježja X i Y jestbrojσ xy = 1 n∑(x i − x)(y i − y).ni=1Napomena 14.5. Vrijedi formula σ xy = 1 nn∑x i y i − xy.i=1Teorem 14.16. Jednadžba pravca regresije od Y u odnosu na X, dobivenog metodomnajmanjih kvadrata dana je say r (x) = ax + b,gdje je a = σ xyσ 2 xi b = y − ax.Definicija 14.17. Veličinu r definiranu sar = σ xyσ x σ yzovemo koeficijent korelacije izmedu obilježja X i Y .Napomena 14.6. Za koeficijent korelacije r vrijedi−1 r 1.Reći ćemo da je linearna povezanost izmedu obilježja X i Y :neznatna, ako je |r| 3,srednja, ako je 0.3 < |r| 0.5,značajna, ako je 0.5 < |r| 0.7,tijesna, ako je 0.7 < |r| 0.9,vrlo tijesna, ako je |r| > 0.9.Zadatak 14.18. Na jednom fakultetu istražuje se utjecaj uspjeha u obrazovanju naosobna primanja nakon završenog školovanja. Dani su podaci o prosjeku ocjena svihpoloženih ispita (X) i visini osobnog dohotka (Y ) za 9 diplomiranih studenata fakulteta,koji su u radnom odnosu barem 3 godine:X 2.7 3.0 3.5 3.8 4.0 4.1 4.4 4.7 4.9Y (u tisućama kuna) 3.0 3.1 5.8 5.9 5.1 4.6 5.8 7.4 4.8(a) Nacrtajte dijagram raspršenja za podatke u tablici.

47(b) Odredite pravac regresije y rraspršenja.od Y u odnosu na X i prikažite ga u dijagramu(c) Izračunajte koeficijent korelacije i klasificirajte ga.(d) Procijenite na temelju pravca regresije koliki bi prosjek ocjena imala osoba s osobnimdohotkom od 4 200 kuna.DZ 14.19. Sljedeća tablica pokazuje godine (X) i maksimalni krvni tlak (Y ) kod 10žena:X 56 42 72 36 63 47 55 49 38 42Y 147 125 160 118 149 128 150 145 115 140(a) Nadite pravac regresije y r od Y u odnosu na X i skicirajte ga u dijagramu raspršenja.(b) Izračunajte koeficijent korelacije i klasificirajte ga.(c) Na temelju pravca regresije procijenite maksimalni krvni tlak žene stare 45 godina.

Poglavlje 15χ 2 -testNapomena 15.1. (Postupak testiranja χ 2 -testom)Neka je N ∈ N broj mjerenja nekog statističkog obilježja X te neka su x 1 , . . . , x N rezultatimjerenja. Želimo na osnovu rezultata mjerenja ispitati pretpostavku da obilježje Xima odredenu distribuciju. Postavljamo hipotezu o distribuciji F obilježja X nasuprothipotezi da obilježje X nema distribuciju F :H 0 : X ∼ FH 1 : X ≁ F(nulta hipoteza)(alternativna hipoteza)(1) Sliku od X podijelimo na disjunktne skupove (razrede) A i , i = 1, . . . , n (X(Ω) =A 1 ∪ . . . ∪ A n ) te za izabrani uzorak x 1 , . . . , x N odredimo empirijske frekvencijef 1 , . . . , f n (f i = broj elemenata uzorka x 1 , . . . , x N koji se nalaze u A i ). Pri tomese pazi da je n što veći, ali da istodobno u svakom razredu A i bude najmanje 5elemenata (tj. f i 5, i = 1, . . . , n), inače spajamo razrede.(2) Izračunamo vrijednosti p i = P H0 (X ∈ A i ) = P (X ∈ A i ) (i = 1, . . . , n) uz pretpostavkuda je nulta hipoteza točna (tj. uz pretpostavku da slučajna varijabla Xima distribuciju F ), te izračunamo teorijske frekvencije f ′ 1, . . . , f ′ n (f ′ i = N · p i ).(3) Odredimo veličinuχ 2 =n∑ (f i − f i) ′ 2.i=1Tada vrijedi χ 2 ≈ χ 2 (n − r − 1), tj. χ 2 ima približno χ 2 -razdiobu s n − r − 1stupnjeva slobode, gdje je r broj nepozantih parametara pretpostavljenog zakonarazdiobe od X, koje smo procijenili iz uzorka. 1f ′ i1N1 Često se iz uzorka procjenjuju očekivanje i varijanca po formulama ̂µ = x 1 + . . . + x NNN∑(x i − ̂µ) 2 .i=1i ̂σ 2 =48

49(4) Za dani nivo značajnosti α ∈ (0, 1), iz tablice za χ 2 -razdiobu, odredimo veličinuχ 2 n−r−1, α.(5) Ako je χ 2 χ 2 n−r−1, α, tada odbacujemo hipotezu H 0 (i prihvaćamo hipotezu H 1 ).Ako je pak χ 2 < χ 2 n−r−1, α, tada prihvaćamo hipotezu H 0 .Zadatak 15.1. U knjižnici je slučajno odabrano 200 uzoraka po 5 knjiga i gledano jekoliko u svakom uzorku ima oštećenih knjiga. Dobiveni su rezultati:broj oštećenih knjiga 0 1 2 3 4 5broj uzoraka 72 77 34 14 2 1Pomoću χ 2 -testa testirajte hipotezu da broj oštećenih knjiga X ima binomna razdiobu sparametrima 5 i p, tj. X ∼ B(5, p), uz nivo značajnosti α = 0.05.Zadatak 15.2. Kocka je bačena 120 puta i dobiveni su sljedeći rezultati:broj koji je pao na kocki 1 2 3 4 5 6empirijske frekvencije 19 12 27 17 20 25Pomoću χ 2 -testa, uz uz nivo značajnosti α = 0.2, provjerite hipotezu da je kockasimetrična.Zadatak 15.3. Anketiranjem 100 vlasnika automobila dobivene su njihove prosječnednevne potrošnje benzina:potrošnja (u L) 0 − 2 2 − 4 4 − 6 6 − 8 8 − 10 10 − 12 12 − 14broj vlasnika 5 10 20 30 15 14 6Pomoću χ 2 -testa provjerite hipotezu, uz nivo značajnosti α = 0.1, da se navedeni podaciu tablici slažu s normalnom razdiobom.DZ 15.4. U jednoj telefonskoj centrali bilježe se pogrešni spojevi u jednoj minuti. Motrenjeu toku 50 minuta dalo je ove podatke:broj pogrešnih spojeva 0 1 2 3 4 5 6empirijske frekvencije 7 15 12 9 4 2 1(a) Pomoću χ 2 -testa testirajte hipotezu da je razdioba broja pogrešnih spojeva X Poissonovarazdioba, uz nivo značajnosti α = 0.05.(b) Pomoću χ 2 -testa testirajte hipotezu da je X ∼ P (3), uz α = 0.05.

50DZ 15.5. U uzorku od 150 žarulja ispituje se njihov vijek trajanja. Dobiveni su sljedećipodaci:vijek trajanja (u satima) [0, 100) [100, 200) [200, 300) [300, ∞)broj žarulja 47 40 35 28Pomoću χ 2 -testa testirajte hipotezu da vijek trajanja žarulje X ima gustoću:f(x) ={ 0.005 e −0.005x , x 00, x < 0x ∈ R.Za nivo značajnosti uzmite α = 0.01.