Materjali fail

TARTU ÜLIKOOLMATEMAATIKA-INFORMAATIKATEADUSKONDAnnika TeskaSUDOKUDE JA SUDOKULAADSETE MÕISTATUSTEKASUTAMINE PÕHIKOOLI MATEMAATIKAÕPPESMagistriõppe lõputööJuhendaja: dots Lea LepmannAutor ………………………………………..…….……“.….. „ mai 2011Juhendaja …………………………………………….…“……„ mai 2011Lubatud kaitsmiseleMagistrieksami komisjoni esimees …………………….“……“ juuni 2011Tartu 2011

SisukordSissejuhatus .................................................................................................................. 31 Põhikooli matemaatikahariduse eesmärgid. Õpilaste motiveeriminematemaatikaõpetuses. ................................................................................................... 51.1 Põhikooli matemaatikahariduse üldised eesmärgid ........................................ 51.2 Probleemid matemaatikahariduses................................................................. 71.3 Motivatsiooni olulisus. Erinevate õppemeetodite roll motiveerimisel............. 82 Sudokud ja sudokulaadsed mõistatused ............................................................... 142.1 Sudoku ajalugu............................................................................................ 152.2 Enne sudokut levinud arvruudud.................................................................. 162.3 Sudoku erinevad liigid ja sudokulaadsed mõistatused .................................. 182.4 Sudoku lahendamistehnikad ja -strateegiad.................................................. 243 Sudokude ja sudokulaadsete mõistatuste sihipärane kasutaminematemaatikaõpetuses .................................................................................................. 293.1 Miks kasutada sudokusid ja sudokulaadseid mõistatusi matemaatikaõpetamisel? ............................................................................................................. 293.2 Sudokude ja sudokulaadsete mõistatuste kasutamine lahendamisstrateegiatetuletamiseks ............................................................................................................ 313.3 Sudokude kasutamine tõestuse olemuse selgitamiseks ................................. 353.4 Sudokude ja sudokulaadsete mõistatuste kasutamine matemaatika ainealasteteadmiste ja oskuste kinnistamiseks......................................................................... 39Kokkuvõte .................................................................................................................. 42Summary .................................................................................................................... 44Kasutatud kirjandus .................................................................................................... 452

SissejuhatusMatemaatikat peetakse koolis üheks raskeimaks õppeaineks. Uuringutega on näidatud,et see osutub üheks peamiseks õpiraskuseks ja koolist väljalangemise põhjuseks(Simson, 2010). Rahvusvahelisest uuringust TIMSS 2003 selgus, et õpilastele ei meeldimatemaatika (Lepmann, 2006). Samas vajab ühiskond inimesi, kes oskaksidloodusteadusi ja reaalaineid. Probleemidest ja ühiskonna nõudmistest lähtuvalt onriikliku õppekavaga seatud eesmärgiks õpilastes matemaatikasse positiivse suhtumisekujundamine. Positiivne suhtumine saab kujuneda meeldivate emotsioonidekogemisega. Motivatsiooniteooriate üheks seisukohaks on, et tuleks eelistada sisemistmotivatsiooni välisele. Teisisõnu tahe probleeme lahendada peaks tulema soovist teadasaada ja eduelamusest, mitte ainult kiituse ja parema hinde ootusest.Viimase 7 aasta jooksul on saanud väga populaarseks erinevad numbritega (jaarvudega) seotud ristsõnadega sarnanevad mängud/mõistatused. Tõenäoliselt ühekskõige tuntumaks neist on sudokud. Ülemaailmne sudoku-vaimustus levis ka Eestisse.Iga kuu ilmub mitmeid sudokude ajakirju, sudokusid saab lahendada väga paljudelinternetilehekülgedel, mobiiltelefonis, korraldatakse võistlusi. Nii nagu ristsõnadel onka numbrimõistatustel mingi salapära, mis köidab inimesi, neid lahendatakse ajaviiteks,meelelahutuseks. Tõenäoliselt on populaarsuse põhjuseks lihtsad reeglid, jaotumineväga erinevateks raskusastmeteks ja lahendamisel saadav vahetu tagasiside omaedukusest. Kui kõik ruudud/lahtrid on täidetud ja reeglitega pole vastuollu mindud, siison ka lahendus õige.Eelnevast lähtuvalt on antud töö autor arvamusel, et sudokusid ja sudokulaadseidmõistatusi võiks kasutada matemaatikatundides õpilaste sisemise motivatsioonitekitajatena. Seejuures peab arvestama, et matemaatikatundide arv on piiratud ningsudokude õpetamine/lahendamine ei saa olla eesmärk omaette. Kasutatavad mõistatusedtuleks teadlikult seostada ainekavas nõutud teadmiste ja oskustega.Käesoleva töö eesmärgiks ongi uurida, kuidas saaks sudokusid ja sudokulaadseidmõistatusi sihipäraselt kasutada eelkõige II ja III kooliastme matemaatikaõpetuses. Selleeesmärgi täitmiseks püstitati järgmised konkreetsemad ülesanded:tutvuda sudoku ajaloo ning erinevate sudoku liikide ja sudokulaadsetemõistatustega;3

selgitada välja need matemaatika valdkonnad, milles on mõistlik sudokut jasudokulaadseid mõistatusi kasutada;lähemalt uurida sudoku ja sudokulaadsete mõistatuste kasutamist üldise probleemilahendamise oskuse kujundamisel, tõestuste õppimisel ja arvutamisega seotudainealaste pädevuste kujundamisel II ja III kooliastmel.Töö koosneb sissejuhatusest, kolmest peatükist, kokkuvõttest, ingliskeelsest resümeest,kasutatud kirjanduse loetelust ja ühest lisast.Töö esimene ja teine peatükk on referatiivsed. Esimeses peatükis esitatakse peamisedmatemaatikahariduse eesmärgid ja probleemid, samuti motivatsiooniteooriateseisukohad ja õppemeetodite kirjeldused, millest autor kolmanda peatüki kirjutamisellähtus.Teises peatükis antakse ülevaade sudokude ja sudokulaadsete mõistatuste ajaloost,erinevatest liikidest ning klassikalise sudoku lahendamistehnikatest ja -strateegiatest.Kolmandas peatükis põhjendab autor sudokude ja sudokulaadsete mõistatustekasutamist matemaatikahariduse eesmärkide saavutamiseks, lähtudes seejuuresvastavasisulistest uuringutest ja töö esimeses osas tutvustatud teooriatest. Kolmandaspeatükis esitab autor ka omapoolseid konkreetseid näiteid sudokude ja sudokulaadsetemõistatuste sihipärasest kasutamisest II – III kooliastme matemaatikaõpetuses.Töö lõpeb kokkuvõttega.4

1 Põhikooli matemaatikahariduse eesmärgid. Õpilaste motiveeriminematemaatikaõpetuses.Selles peatükis esitatakse antud töö jaoks olulisemad matemaatikahariduse eesmärgid,tuuakse välja matemaatikahariduse probleemid ning kirjeldatakse lühidaltmotivatsiooni kujunemise peamisi põhimõtteid. Õppimise ja õpimotivatsiooniga ontihedalt seotud erinevate õppemeetodite kasutamine. Peatüki viimases osas kirjeldatakseõppemänge, probleemõpet ja mõistatustel põhinevat õpet.1.1 Põhikooli matemaatikahariduse üldised eesmärgidPõhikooli riikliku õppekavaga on üheks põhikooli alusväärtuseks seatud tingimusteloomine õpilaste erisuguste võimete tasakaalustatud arenguks ja eneseteostuseks ningteaduspõhise maailmapildi kujunemiseks. Kool peab aitama õpilastel jõuda selguseleoma huvides, kalduvustes ja võimetes ning toetama kasvamist loovateks,mitmekülgseteks isiksusteks. Õpilased peavad olema valmis õpingute jätkamiseks jaelukestvaks õppeks (Põhikooli riiklik õppekava, 2010).Õppekava üldosas on esitatud seitse üldpädevust, mille arendamisega tuleb tegeleda kamatemaatikaõpetuses. Nende üldpädevuste kujundamise võimalusi on lühidaltkirjeldatud põhikooli matemaatika ainekavas ja detailsemalt matemaatikavaldkonnaraamatus (Lepmann, 2010). Järgnevalt esitatakse antud töö eesmärgistlähtuvalt olulisemad võimalused nende pädevuste arendamiseks matemaatikas.Väärtuspädevus. Matemaatika on kultuure ühendav teadus, matemaatika ajaluguvõimaldab õpilastele tutvustada eri maade ja rahvaste kultuuripärandit ningmatemaatika tähtsust. Matemaatika ilu peitub loogilistes mõttekäikudes ja arutlustesning seda tuleks õpilastega harjutada. Lisaks arendab matemaatikaga tegeleminepüsivust, sihikindlust ja täpsust.Sotsiaalne pädevus. Õpilased peavad mõistma reeglitest kinnipidamise vajalikkust ningõppima neid järgima erinevates keskkondades. Matemaatikas on omad reeglid janendest kinnipidamine on oluline. Koostöötamise oskust saab arendada näiteksrühmatööga. Kaasõpilaste lahenduskäikude analüüsimine aitab mõista inimesteerinevusi ning nendega arvestamise olulisust.5

Enesemääratluspädevus. Õpilase oskus hinnata oma tugevusi ja nõrkusi matemaatikaskujuneb eeskätt erineva raskusastmega ülesannete iseseisva lahendamisega.Õpipädevus. Matemaatikat õppides on oluline materjalist aru saada, selleks peaksõpilane uurima ise seoseid, tooma näiteid, selgitama ja põhjendama oma mõttekäikening analüüsima oma tegevust. Probleemülesannete lahendamisel areneb analüüsimise,ratsionaalsete võtete, tulemuse kriitilise hindamise, üldistamise ja analoogia kasutamiseoskus.Suhtluspädevus. Matemaatika ülesandeks on arendada õpilastes selget, lühidat ja täpsetväljendusviisi. Tekstülesannete lahendamine arendab teksti mõistmise oskust.Matemaatikal on oluline roll erinevate info edastamise viiside (tekst, joonis, graafik,tabel, diagramm, valem) mõistmise ja seostamise õppimisel.Ettevõtlikkuspädevus. Ettevõtlikkuspädevuse arendamiseks on matemaatikaserinevaid võimalusi. Näiteks arendab ettevõtlikkust ülesandele iseseisvalt lahenduseotsimine, ideede genereerimine, hüpoteeside püstitamine ja nende tõesuse kontroll,paindlik mõtlemine ja oma mõttekäikude põhjendamine.Matemaatikapädevus. Matemaatikapädevuse arendamisel on matemaatikal keskneroll. Järk-järgult kujuneb probleemülesande lahendamise oskus, õpitakse tundmaprobleemülesande lahendamise üldist skeemi. Harjutatakse oma mõttekäikudepõhjendamist ja tutvutakse tõestamise ja tõestuse olemusega, selle kaudu kujunebloogilise arutlemise oskus. Ülesannete lahendamisel ja oma mõttekäikudepõhjendamisel on oluline nii suuline kui ka kirjalik kommunikatsioon. Tuleks harjutadaerinevate matemaatiliste mõistete ühiste tunnuste otsimist ja nendevaheliste seostemärkamist. Lisaks sõnalisele info edastamisele on matemaatikas oluline mõista ka teisteesitusviiside (avaldis, valem, võrrand, võrratus, graafik, tabel, diagramm, pilt, mudelid)sisu. Matemaatikapädevus hõlmab ka huvi matemaatika vastu, matemaatika sotsiaalse,kultuurilise ja personaalse tähenduse mõistmist.Aineõpetus ja üldpädevuste arendamine peavad toimuma ühtse tervikuna. Ainekavas onesitatud üldised õpieesmärgid ja konkreetsed nõutavad õpitulemused. Põhikoolimatemaatikaõpetusega taotletakse, et õpilane:1) arutleb loogiliselt, põhjendab ja tõestab;2) modelleerib looduses ja ühiskonnas toimuvaid protsesse;3) püstitab ja sõnastab hüpoteese ning põhjendab neid matemaatiliselt;6

4) töötab välja lahendusstrateegiaid ja lahendab erinevaid probleemülesandeid;5) omandab erinevaid info edastamise meetodeid;6) kasutab õppides info- ja kommunikatsioonitehnoloogia vahendeid;7) väärtustab matemaatikat ning tunneb rõõmu matemaatikaga tegelemisest;8) rakendab matemaatikateadmisi teistes õppeainetes ja igapäevaelus.Esimeses kooliastmes on oluline arvutamisoskuse omandamine. Õpitakse naturaalarveliitma, lahutama, korrutama ja jagama. Harjutatakse matemaatiliste mõistete kasutamist(näiteks tehete liikmed). Teine oluline osa on tutvumine tasapinnaliste ja ruumilistegeomeetriliste kujunditega. Üheks üldiseks eesmärgiks on, et õpilane huvitubümbritsevast ja tahab õppida.Teises kooliastmes on oluline arvutamisoskuse laiendamine, õpitakse tehete omadusi jatehteid murdudega. Naturaalarvude hulgas vaadeldakse paaris- ja paarituid ning alg- jakordarve, esitatakse naturaalarve algtegurite korrutisena, leitakse ühistegureid jaühiskordseid, õpitakse kasutama jaguvustunnuseid. Geomeetria osas on olulinekujundite pindala tähenduse mõistmine. Ka probleemülesande lahendamise skeemitundmine ja oma mõttekäikude põhjendamine on sellel kooliastmel üldiselt taotletavadõpitulemused.Kolmandas kooliastmes on peamine omandada protsentidega arvutamise ningvõrrandite ja võrrandisüsteemide lahendamise oskus. Suur osa on ka geomeetrial, kustuletatakse valemeid ja uuritakse kujundite omadusi. Tutvutakse tõestamise olemusegaja selgitatakse teoreemide tõestuskäike. Eesmärgiks on, et selle kooliastme lõpuksõpilane püstitab hüpoteese, kontrollib neid, üldistab ja arutleb loogiliselt, põhjendabväiteid ja on omandanud esmase tõestusoskuse.1.2 Probleemid matemaatikaharidusesMeie matemaatikahariduses on üles tõstetud mitmeid probleeme, peamiselt arutletaksenende puhul selle üle, kuidas peaks matemaatikat õpetama. Järgnevas esitatakse mõnedsellekohased näited.Hele Kiisel ja Imbi Koppel on ühe probleemina välja toonud üleüldise suhtumisematemaatikasse. Ühiskonnas ei ole matemaatikal head mainet, seda peetakse raskeks jaebamääraseks. Matemaatikast räägitakse pigem negatiivselt ja ei märgata matemaatikaseost igapäevase eluga (Helme, 2008; Koppel, 2010).7

Matemaatika valmistab õpilastele raskusi. Kooliealistest lastest 5-6% on spetsiifilisearvutamisvilumuste häirega, see hõlmab liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamisemittevaldamist. Selline häire ei ole seletatav ainult üldise vaimse mahajäämuse võimitteadekvaatse õpetamisega (Pruulmann, 2010). Avatud ühiskonna instituut viis 2010.aasta alguses läbi uuringu 12-17-aastaste põhikooli õpilaste seas (Raun, 2010). Selgus,et 45%-l õpilastest on enda hinnangul tõsiseid probleeme õppimisega, konflikteõpetajate või klassikaaslastega või on neil konfliktid kodus, kusjuures enam kui pooltelneist on raskusi matemaatikaga. Ivi Proos toob koolist väljalangemise peamisepõhjusena välja õppimisega toimetulematuse. Kuna raskusi on eelkõige matemaatikaga,siis võib järeldada, et matemaatikal on õpilase koolist väljalangemisel oluline osa(Simson, 2010).Rahvusvahelisest tasemeuuringust TIMSS 2003 selgus, et kuigi Eesti õpilased onmatemaatikas edukad, siis neile ei meeldi matemaatika, nad ei väärtusta seda ja neil onmadal enesehinnang. Seega võib oletada, et õpilaste head ainealased oskused onsaavutatud väliste motivatsioonitegurite toel ja õpilaste sisemine motivatsioon on jäänudtagaplaanile. Uuring näitas, et sama kehtib ka enamikes teistes matemaatikas häidtulemusi saavutanud riikides (Lepmann, 2006).Nimetatud probleemid ei ole omased ainult Eestile. Thomas ja Brunsting (2010) toovadvälja, et teises ja kolmandas kooliastmes muutub õpilaste suhtumine matemaatikassenegatiivsemaks. Nende USA-s läbiviidud uuringust selgus, et põhikooli lõpuks onumbes 50% õpilastest madala enesehinnanguga, neile ei meeldi matemaatika ja nad eisoovi matemaatikat edasi õppida.1.3 Motivatsiooni olulisus. Erinevate õppemeetodite rollmotiveerimisel.Põhikooli üheks ülesandeks on aidata õpilastel jõuda selgusele oma huvides ja võimetesning tagada valmisolek elukestvaks õppeks. Õpilane peab õppeprotsessis olemaaktiivne, seadma endale eesmärke, õppima iseseisvalt ja koos kaaslastega. Nii õpitakseoma kaaslasi ja ennast hindama ning oma õppimist analüüsima ja juhtima.Esimeses kooliastmes on oluline, et õpilane harjuks kooliga ning tunneks ennast sealturvaliselt. Sellele aitavad kaasa positiivsed emotsioonid ja eduelamuse kogemine.Õpetaja peamiseks ülesandeks on toetada iga õpilase eneseusku ja õpimotivatsiooni.8

Teises kooliastmes on oluline äratada ja säilitada õpilaste huvi õpetatavate teadmis- jategevusvaldkondade vastu. Keskenduda tuleb õpimotivatsiooni hoidmisele ja tõstmiselening õpilaste erivõimete ja huvide äratundmisele ja arendamisele. Õpetuses tulebrakendada mitmekesiseid tööviise ja ülesandeid.Ka kolmandas kooliastmes tuleb tegeleda õpimotivatsiooni hoidmise ja õpilaseerivõimete ja huvide arendamisega (Põhikooli riiklik õppekava, 2010).Motivatsioon on motiivide kogum, mis ajendab inimest mingil viisil toimima(Motivatsioon. Eesti keele seletav sõnaraamat). Lapsed on motiveeritud õppima mitmelerineval viisil. Motivatsiooniliste suundumuste kujunemist mõjutavad lapse omamõtted, arusaamad ja uskumused, oluline roll on ka ühiskonnas levinud väärtustel jauskumustel. Arvatakse, et inimestel on kaasasündinud vajadus tunda end oskusliku javõimekana. Kui laps kogeb koolis palju ebaedu, siis väheneb tema huvi koolis õpitavavastu. Laste motivatsiooniliste suundumuste kujunemise protsessi mõjutavad mitmedtegurid (Mägi, 2010).Motivatsiooni kujunemisel on üheks oluliseks osaks on akadeemiline minakäsitlus, mishõlmab usku oma võimekusse ja oskustesse, edule ja ebaedule omistatavaid põhjusi,hinnanguid ja ootusi ülesande raskuse kohta, eduootusi ja usku oma suutlikkusseülesandega hästi hakkama saada. Õpetaja peab jälgima, et ülesanded oleksid kõikideõpilaste jaoks pingutust nõudvad, kuid siiski saavutatavad.Lapse motivatsioonilisi suundumusi mõjutab ka lapse poolt ülesandele või tegevuseleantav väärtus ehk ülesande olulisus, huvitavus ja vajalikkus lapse jaoks. Sisemiseltmotiveeritud tegevuste korral on tegevus ise nauditav ja huvipakkuv, väliseltmotiveeritud tegevuste puhul on tegevus vahend soovitud lõpptulemuste saavutamiseksvõi ebasoovitavate tulemuste vältimiseks. Esimestel kooliaastatel on õpilaste siseminemotivatsioon enamasti kõrge, kuid see hakkab kiiresti langema. Elus on olulisedmõlemat liiki motivaatorid, paratamatult tuleb teha asju, mis ei ole tingimata huvi võinaudingut pakkuvad. Väliste motivaatorite puhul on omakorda oluline, kuivõrd on needõpilase poolt omaks võetud. Õppetöö, mis paneb õpilast ennast ebakompetentsenatundma, ei ole nauditav. Õpetaja saab õpilaste sisemist motivatsiooni toetada, kui tavarieerib ülesandeid ja seob neid õpilaste huvidega. Õpilased peavad saama ise omategevuse planeerimisel ja ülesande lahendamisel aktiivselt osaleda, neil peab olemavõimalus oma ideid katsetada ja esitada erinevaid lahendusi.9

Positiivsete motivatsiooniliste suundumuste kujunemisel on keskne koht uskumusteloma võimekuse suhtes ja ootustel, seega on oluline toetada positiivsete uskumuste jaootuste kujunemist. Kõikidele õpilastele tuleks tagada jõukohased ülesanded javõimaldada eduelamuse kogemist ning pakkuda toetavat ja õppimist väärtustavatkeskkonda, see paneb aluse laste positiivsele minakäsitlusele ja suhtumisele õppimisse(Mägi, 2010).Matemaatikasse positiivse suhtumise kujundamisel ja õpimotivatsiooni tõstmisel onabiks erinevate õppemeetodite kasutamine. Nende kaudu saab õpilastele näidata, etmatemaatika võib olla lõbus, nauditav ja jõukohane ning saab arvestada õpilaste huvideja võimetega. Järgnevas vaadeldakse kolme meetodit, mis peaksid õpimotivatsioonilepositiivselt mõjuma.ÕppemängMäng on tegevus, mida harrastatakse peamiselt tema enda pärast, ajaviiteks jameelelahutuseks. Eristada saab liikumismänge ja mõtlemismänge. Matemaatilistemängude all mõeldakse üldjuhul mänge, mille mängimisel läheb tarvis matemaatikat.Lastele on mäng loomuomane ja seetõttu on mõistlik tuua tundidesse aeg-ajaltmängulisi elemente või tutvustada mõnda mängu ennast. Mänge on erinevaid ningoskuslikult valituna või koostatuna aitavad need kaasa erinevate pädevustekujunemisele, näiteks laiendavad matemaatilisi teadmisi, arendavad üldist loogilistmõtlemisvõimet ja suhtlemisoskusi (Rand, 1985).Õppimismängul on seitse olulist tunnusjoont, millest kuus esimest on iseloomulikudmängule üldiselt:1) on vabatahtlik tegevus;2) aitab sisukalt ja meeldivalt aega veeta;3) on mittetootev tegevus;4) on jõuproov ülesande või vastasega;5) on sümboolne tegevus ja seotud reeglitega;6) koosneb meelevaldselt loodud olukordadest, mis on ajaliselt ja ruumiliseltlahutatud päris elu toimingutest;7) kasutatakse mõisteid, märke, fakte ja nendevahelisi seoseid.10

Matemaatilised mängud aitavad arendada ja kinnistada ainealaseid oskusi, kuid peamineon nende mõju positiivse suhtumise kujunemisele ja motivatsiooni tõstmisele(Pehkonen ja Pehkonen, 1997).ProbleemõpeProbleemõpe on probleemülesannete lahendamisel põhinev õpe. Probleemõpet peetaksekonstruktivistliku õppeviisi põhimeetodiks. Konstruktivistlike õppemeetodite korralomandab õpilane uusi teadmisi ja oskusi neid olemasolevate põhjal ise luues, õpilane onõppimisel aktiivne.Ülesanne on õpilase jaoks probleemülesanne, kui tal on tahe ja huvi sellega tegeledaning tema senised teadmised ja oskused ei võimalda ülesannet adekvaatselt lahendada(Afanasjev, 2004). Ülesande lahendamiseks peab õpilane otsima uusi vahendeid,püstitama hüpoteese ja neid kontrollima. Probleemülesandel on üldjuhul mitu õigetlahendust.Probleemülesande lahendamisel on mõistlik kasutada probleemülesande üldistlahendamisskeemi. Pólya eristab ülesande lahendamisel nelja etappi (Pólya,2001, lk 14– 22):1. Ülesandest arusaamine. Sellel etapil on oluline teha selgeks, mis on antud jamida tuleb leida, tuleb mõista antud andmete vahelisi seoseid ja eristada olulistinfot ebaolulisest. Abiks on skeemid ja joonised.2. Plaani koostamine. Plaani koostamisel on oluline otsida sarnasusivaremlahendatud ülesannetega. Keeruliste ülesannete puhul on abiks ülesandeümbersõnastamine ja väiksemateks osadeks jaotamine.3. Plaani täitmine. Lahendusplaani elluviimisel tuleb jälgida iga sammu õigsust.4. Tagasivaade. Ülesande lahendamisele peab järgnema tulemuse kontrollimine jalahenduskäigu analüüs. Tuleks mõelda, kas sama tulemuseni oleks saanud jõudaka teisiti ja kas leitud lahenduskäik oleks abiks ka mõne teise ülesandelahendamisel.Et iseseisvalt probleemi lahendada, peab õpilasel olema motiiv, mis sunnib tedapingutama. Probleemülesannete lahendamine aitab kaasa õpilase üldise probleemilahendamise oskuse arengule. Eriti oluline on, et lahendamisega kaasneks õpilasel omategevuse teadvustamine ehk metakognitsioon (Krull, 2000, lk 382).11

Mõistatustel põhinev õpeMõistatus on lahendamiseks, äraarvamiseks antav nuputamisülesanne (Mõistatus. Eestikeele seletav sõnaraamat). Mõistatusi lahendatakse peamiselt meelelahutuseks, kuidneid saab kasutada ka õpetamise eesmärgil.Zbigniew ja Matthew Michalewicz tutvustasid 2007. aastal mõistatustel põhinevat õpet,2008. aastal ilmus nende samasisuline raamat ja alates 2008. aastast on sel teemaltoimunud ülemaailmselt mitmeid seminare, konverentse ja kursuseid peamiseltAustraalias ja Ameerikas (Puzzle-Based Learning).Michalewiczid toovad välja, et õpilaste probleemilahendamise oskus on nõrk, õpilasedei mõtle, kuidas probleeme lahendada. Probleemilahendamise oskuste parandamisekssaab kasutada mõistatusi.Mõnikord on raske eristada mõistatust reaalsest probleemist. Hariduslike mõistatusteeesmärgiks on arendada probleemide lahendamise oskust ja loovat mõtlemist. Sellistelmõistatustel on üldjuhul järgmised tunnused:1. Üldkehtivus (generality). Hariduslik mõistatus peab selgitama mõnda üldistmatemaatilise probleemi lahendamise printsiipi.2. Lihtsus (simplicity). Hariduslikku mõistatust peab olema lihtne sõnastada jameelde jätta. Sel juhul on tõenäolisem, et meelde jääb ka lahendamise meetod.3. Ahhaa-efekti olemasolu (Eureka factor). Hariduslik mõistatus peab olemahuvitav, selle lahendus peab olema lihtne, kuid ei tohi olla ilmne.4. Meelelahutuslik olemus (entertainment factor). Hariduslik mõistatus peab olemameelelahutuslik, see tagab huvi püsimise.Hariduslikul mõistatusel ei pea ilmtingimata olema kõiki nimetatud tunnuseid. Kasmõistatust pidada hariduslikuks või mitte, sõltub pigem õpetaja sisetundest.Mõistatused aitavad muuta õpilaste suhtumist matemaatikasse (ja teadusesse üldiselt)positiivsemaks.Mõistatustel põhineval õppel on mitmeid sarnasusi probleem- ja projektõppega.Peamine erinevus seisneb selles, et probleem- ja projektõppe korral on tegu küllaltkikeeruliste olukordadega ja üldjuhul ei ole ühte parimat lahendust. Mõistatused seevastuon üldjuhul lihtsad ja neil on tavaliselt üks õige lahendus (Michalewicz ja Michalewicz,2008).12

Õppemeetodid ja ülesanded on kõigest vahendid, mis aitavad saavutada riiklikusõppekavas seatud eesmärke. Õpetaja peab nende valikul arvestama konkreetse teema,õpilaste eripära, võimete ja huvidega. Ühegi õppemeetodi kasutamine ei saa saadaeesmärgiks omaette, erinevate teemade ja oskuste õppimiseks on väga erinevaidvõimalusi ja üks õppemeetod ei sobi kindlasti kõige ja kõigi jaoks. Õppemängud,probleemõpe ja mõistatustel põhinev õpe tõstavad õpimotivatsiooni ja aitavadkujundada matemaatikasse positiivset suhtumist, kuid seda ainult õige ja mõistlikukasutamise korral.13

2 Sudokud ja sudokulaadsed mõistatusedSudoku on arvmõistatus. Klassikaline sudoku on 9x9 tabel, mis koosneb üheksast 3x3alamruudust (joonis 2.1). Igas veerus, reas ja alamruudus on numbrid 1-9, iga numbritvõib ühes reas, ühes veerus ja ühes alamruudus kasutada täpselt ühe korra. Mõistatuseson osad lahtrid numbritega täidetud ja ülejäänud peab täitma lahendaja. Iga lahendatudsudoku on ladina ruut (Sudoku, 2011).2 7 8 98 4 17 5 66 9 5 32 645 7 978 5 2 3Joonis 2.1. Klassikaline sudokuEesti Õigekeelsussõnaraamatus on selgitatud sudokut kui loogikamängu (Sudoku,2006), ka mitmetel internetilehekülgedel nimetatakse sudokut tõenäoliselt seetõttumänguks, et selle lahendamine on sageli mänguline.Järgnevas vaadeldakse arvmõistatusi, mida saab tinglikult jaotada sudoku liikideks jasudokulaadseteks mõistatusteks.Käesolevas peatükis antakse ülevaade sudoku ajaloost, vaadatakse erinevaid seisukohtisudoku eelkäijatest ja kirjeldatakse täpsemalt sudoku erinevaid liike ningsudokulaadseid mõistatusi. Peatüki viimases osas on esitatud mõned sudokulahendamise tehnikad ja strateegiad. Teksti illustreerivad konkreetsed näited. Näidetenaesitatud mõistatuste lahendused on toodud lisas 1.Sudoku liikidena käsitletakse antud töös neid mõistatusi, mis sarnanevad omastruktuurilt klassikalise sudokuga. Teisisõnu on need eelkõige mõistatused, milles antudnxn ruut on jaotatud võrdse suurusega n alamosaks ning igas reas, veerus ja alamosaspeavad esinema arvud 1 - n täpselt üks kord. Lisaks võib olla mitmeid muid kitsendusi.Sudokulaadseteks mõistatusteks nimetatakse antud käsitluses neid, milles kehtivadendiselt tingimused, et arv võib esineda reas ja veerus (või nende piiratud osades)14

täpselt üks kord, kuid see tingimus ei laiene enam alamosadele. Täidetav väli ei peaolema ruudukujuline. Siia kuuluvad autori arvates ka need arvmõistatused, milles arvud1 - n tuleb paigutada mõnda teise kujuga geomeetrilisse kujundisse, kus mõistetel rida javeerg ei ole alati tähendust (nt ringikujuline ja poolkuubi sudoku), sel juhul kasutatakseantud kujundile vastavaid mõisteid.2.1 Sudoku ajaluguNimi sudoku pärineb Jaapanist mõistatusi tootvalt firmalt Nikoli ning on seal Nikolikaubamärk. Sudokusid hakkas firma levitama 1984. aastal (Hayes, 2006).Esimene teadaolev sudoku ilmus 1979. aastal ajakirjas Dell Pencil Puzzles & WordGames, mõistatuse ingliskeelne nimi oli Number Place. Mõistatuse koostaja nimeajakirjas polnud, kuid Will Shortz jõudis uurides järeldusele, et autoriks oliIndianapolise arhitekt Howard Garns, kes suri 1989. aastal.Mõistatuse ülemaailmse edu põhjustajaks peetakse Uus-Meremaa kohtunikku WayneGould'i, kes avastas enda jaoks sudokud 1997. aastal Jaapani reisil ning neistvaimustusse sattus. Tema algatusel ilmus 2004. aasta novembris Londoni ajalehes TheTimes sudoku, peagi ilmusid sudokud ka mitmetes teistes ajalehtedes. Mõned kuudhiljem hakkasid sudokud ilmuma ka Ameerikas ning tekkis ülemaailmne vaimustus(Hayes, 2006). Gould'i arvates levis sudoku ülemaailmselt, sest see ei ole seotudkeelega. Populaarsuse üheks peamiseks põhjuseks peab ta asjaolu, et sudokulahendamine ei vaja spetsiaalseid teadmisi. Ta ütleb, et sudoku ei kontrolli, mida Satead, vaid seda, kuidas Sa mõtled (Dobson, 2006).Alates 2006. aastast toimuvad sudokude lahendamise maailmameistrivõistlused, kuuesmaailmameistrivõistlus toimub 6.-10. novembril 2011. aastal Ungaris (World PuzzleFederation). Ka Eestis korraldatakse mitmeid sudokude lahendamise võistluseid, igalaastal toimuvad Eesti Meistrivõistlused (Sudokude lahendamise..., 2011).Bertram Felgenhauer ja Frazer Jarvis tõestasid 2005. aastal, et erinevaid 9x9 sudokutabeleid on umbes216,67 10 (Tõnso, 2006). Arvestades, et iga tabeli kohta saabkoostada erinevaid mõistatusi, sõltuvalt ette antud numbritest, siis on juba ainuüksiklassikalisi sudokusid võimalik koostada tohutul hulgal. Siiani ei ole suudetud tõestada,milline on vähim etteantud numbrite arv, et 9x9 sudokul oleks ainult üks lahendus.15

Gordon Royle on kogunud 49151 sellist erinevat mõistatust, millel on ette antud 17numbrit, kuid teadaolevalt pole leitud ühtegi, millel piisaks 16 numbrist (Royle).2.2 Enne sudokut levinud arvruududLadina ruududSudoku looja Howard Garns suri enne, kui tema loodud mõistatus maailmakuulsaks sai.Seetõttu ei saa kindlalt väita, mis ajendas teda just sellist mõistatust looma. Garns uuris1960-ndatel aastatel ladina ruute (Ramos, 2011) ja tõenäoliselt olidki need sudokudeeelkäijateks. Ta lisas klassikalisele ladina ruudule alamruudud (Block ja Tavares, 2009,lk 7).Ladina ruut on ruudukujuline tabel (joonis 2.2), mille igas reas ja igas veerus on nsümbolit nii, et iga sümbol esineb igas reas ja igas veerus täpselt üks kord. Selline tabelpärineb juba keskajast (Delahaye, 2006). Ladina ruudu mõiste võttis kasutuseleLeonhard Euler 1782. aastal.1 4 2 5 34 2 3 1 53 1 5 4 22 5 1 3 45 3 4 2 1Joonis 2.2. 5x5 ladina ruutLadina ruute kasutatakse statistikas, graafiteoorias, kodeerimisel, juhuslike arvudegenereerimisel ning katsete planeerimisel.Eristatakse peamiselt kolme liiki ladina ruute: (klassikaline) ladina ruut (joonis 2.2);diagonaalne ladina ruut (joonis 2.3), sellisel ladina ruudul peavad kõik n sümbolitesinema täpselt 1 kord ka kummalgi diagonaalil;1 4 5 3 25 2 4 1 32 1 3 5 43 5 2 4 14 3 1 2 5Joonis 2.3. 5x5 diagonaalne ladina ruut16

ladina ristruut (joonis 2.4), sellisel ladina ruudul peavad digonaalil olevad sümbolidolema ühesugused (Emanouilidis, 2007).1 3 2 43 1 4 22 4 1 34 2 3 1Joonis 2.4. 4x4 ladina ristruutMaagilised ruudud ja arvhulknurgadMaagiline ruut on nxn tabel milles on arvud 1 - n², kusjuures iga arv esineb tabelistäpselt üks kord (joonis 2.5). Maagiliseks teeb ruudu asjaolu, et igas reas, veerus jakummalgi diagonaalil olevate arvude summa peab olema sama (Adler, 1996), sedasummat nimetatakse maagiliseks konstandiksKasutatakse ka mõisteid pooltäiuslik ja täiuslik maagiline ruut.või maagilise ruudu konstandiks.Pooltäiuslikus maagilises ruudus ei ole täidetud diagonaalidel olevate arvude summatingimus (Block ja Tavares, 2009, lk 207).6 7 21 5 98 3 4Joonis 2.5. 3x3 maagiline ruutEsimene teadaolev maagiline ruut pärineb Hiinast rohkem kui 4000 aastat tagasi, teguon 3x3 maagilise ruuduga. Legendi järgi oli see ruut kujutatud kilpkonna kilbil.Maagilistel ruutudel oli müstiline ja rituaalne tähendus, need kaitsesid kurja eest.Mitmetes maagilistes ruutudes ilmneb arvude paiknemisel erinevaid seaduspärasusi,näiteks võivad eristuda mustreid moodustavad alamosad, milles arvude summa onmaagiline konstant.Traditsioonilisel maagilisel ruudul on mitmeid variatsioone. Näiteks ei pruugi arvud ollajärjestikused või summa asemel võib kasutada teisi aritmeetilisi tehteid. Üheksedasiarenduseks peetakse arvhulknurki, seal ei paigutata arve tabelisse, vaid hulknurgatippudesse ja/või külgedele. Maagiline konstant peab esinema igal hulknurga tippudegamääratud tähistatud joonel (näiteks küljel ja/või diagonaalil) (Block ja Tavares, 2009).Erinevad autorid on üksmeelel, et sudoku eelkäijaks oli ladina ruut, kuid ollakselahkarvamusel, kas sudokul on seos ka maagilise ruuduga. Delahaye (2006) onseisukohal, et arvud ja ruudukujuline tabel on nende ainsad ühised tunnused. Tema17

seisukoht on, et sudoku ei pärine maagilistest ruutudest. Block ja Tavares (2009)väidavad vastupidi, et ka sudoku on pooltäiuslik maagiline ruut, sest ka seal on iga reaja veeru summa sama. Sellisele järeldusele võib jõuda seetõttu, et sudoku on ladina ruut,neid uuris ja neile andis nime Euler. Ta uuris ka maagilisi ruute ning nimetas ladinaruutu uueks maagiliseks ruuduks (Block ja Tavares, 2009, lk 188).Sudokuga sarnanevad arvmõistatused ilmusid mitmetes Prantsuse päevalehtedes juba19. sajandi lõpul. Alguses oli tegu maagiliste ruutudega, mille osad lahtrid olid tühjad,peagi lisandusid alamruudud ja ladina ruudud (Boyer, 2007). Sudoku ülesehitusega olika 1972. aastal Gridgemani'i avaldatud maagilistest ruutudest koosnev ladina ruut(Block ja Tavares, 2009, lk 113). Ei ole teada, kas nendel oli mingi seos sudokuloomisega.Ka Eestis on ilmunud mitmeid teoseid, mis sisaldavad muuhulgas ka maagiliste ruutudeja arvhulknurkadega seotud nuputamisülesandeid (Lepmann ja Lepmann, 1995; Lind,1991; Perelman, 1948; Rand, 1985).2.3 Sudoku erinevad liigid ja sudokulaadsed mõistatusedSudokude ja sudokudega sarnanevate (arv)mõistatuste kohta kasutatakse erinevatesallikates väljendeid sudoku liik või sudokuga sarnanev mõistatus. Piir nende vahel onväga hägune ja pole ühtset määratlust. Samuti on väga raske eristada, milline mõistatuson veel sudokulaadne ja milline enam mitte.Antud töös esitatud rühmitamine on ainult üks võimalus, milles on lähtutud järgmisestpõhimõttest: kui on tegu ruudukujulise nxn tabeliga, mis on jaotatud n võrdse suurusegaalamosaks ja mille igas reas, igas veerus ja igas alamosas esinevad arvud 1 - n (või nerinevat sümbolit) täpselt üks kord, siis on tegu sudoku liigiga. Ülejäänud sudokugasarnanevaid mõistatusi nimetame sudokulaadseteks mõistatusteks.Puzzle Wiki lehel on nimekiri rohkem kui sajast erinevast sudoku liigist jasudokulaadsest mõistatusest, mis rühmitatud 10 grupiks ühiste tunnuste alusel (SudokuVariants, 2010). Sachsentext'i lehel on nimetatud umbes 30 liiki, millel omakorda onveel alamliike (Sudoku Variants). Arvmõistatuste loojad mõtlevad pidevalt uusimõistatuste variante, nad lisavad uusi tingimusi, muudavad kuju või kombineerivadolemasolevaid variante.18

Järgnevas on esitatud väga väike osa olemasolevatest arvmõistatustest. Kirjeldatud oneelkõige neid sudoku liike ja sudokulaadseid mõistatusi, mis on antud töö eesmärgi ja 3.peatüki seisukohalt olulised. Täpsemalt saab lugeda ja vaadata sudoku liike eelpoolviidatud lehekülgedelt või kasutades internetiotsingul märksõna sudoku variant.Sudoku liigidSudoku liigid on antud töös jagatud viide rühma, rühmitamise aluseks on võetudpeamine tunnus, mille poolest antud mõistatused erinevad klassikalisest sudokust.1. Erineva suurusega tabelid. Lisaks klassikalisele 9x9 sudokule on levinud 4x4,6x6 (joonis 2.6), 8x8, 12x12 ja 16x16 sudokud, seejuures on 6x6, 8x8 ja 12x12sudokudes alamosadeks ristkülikud.5 4 22 1 6332 6Joonis 2.6. 6x6 sudoku2. Arvude asemel muud sümbolid. Sudokuga samaväärseteks on mõistatused,milles arvude asemel kasutatakse tähti (joonis 2.7), pilte, värve vms. Sel juhulon nxn tabelisse vaja sudoku reeglite järgi paigutada n erinevat tähte, pilti, värvivms.ABCCJoonis 2.7. 4x4 tähesudoku3. Lisaks alamruutudele veel alamosasid. Lisaalamosasid määratletakse peamiseltmatemaatiliste mõistetega, värvidega, lahtreid läbiva joonega või lahtreidümbritseva eristuva äärisega.Näiteks diagonaalne sudoku (joonis 2.8) on diagonaalne ladina ruut, st arvud1 - n peavad esinema ka kummalgi diagonaalil. Diagonaalid võivad ollatähistamata, kuid sageli kasutatakse diagonaalide eristamiseks värve või läbivatjoont. Kasutatakse ka nime X-sudoku või sudokuX.19

2 9 43 23 9 1 23 81 4 9 72 17 1 8 56 79 8 7Joonis 2.8. Diagonaalne sudoku4. Alamruutude asemel teistsuguse kujuga alamosad. Muudetud on ainultalamosade kuju, kuid endiselt kehtib tingimus, et nxn tabel on jaotatud täpselt nvõrdse suurusega alamosaks.Nonamino sudokus (joonis 2.9) on alamruutude asemel nonamino kujundid.2 4 971 26 3 59 2 61 211 4 3Joonis 2.9. Nonamino sudoku (Tõnso, 2006)Toorikujulise sudoku (joonis 2.10) tabelit saab igas suunas jätkata ja selle saabjoonistada toori peale. (Tõnso, 2006.)7 4 52 8 3 64 2 13 59 3 8676 4 84Joonis 2.10. Toorikujuline sudoku (Tõnso, 2006)20

5. Lisatingimused, sealhulgas aritmeetilised tehted.Paaris-paaritu sudokus on lahtrid tähistatud kahe erineva värviga (vm eristuvatähistusega), ühte värvi lahtritesse tuleb kirjutada paaris-, teise paaritud arvud.Joonisel 2.11 esitatud sudokus tuleb valgetesse lahtritesse kirjutada paaritud jahallidesse lahtritesse paarisarvud.2 9 81 9 2 75 48 7 3 6 59 2 41 8 31 3 5 9 65 6 9Joonis 2.11. Paaris-paaritu sudoku (Even/Odd Sudoku online)Aritmeetiliste tehetega sudoku liike saab sisuliselt jagada kaheks. Esimesel juhulkehtivad tehetega seotud omadused alamruutudes ja sel juhul on alamruutudeks(pool)maagilised ruudud (joonis 2.12). Teisel juhul on lisaks alamruutudele veelalamosasid, milles olevate arvude summa, vahe, korrutis või jagatis peab olemaetteantud arv, kusjuures alamosad võivad olla erineva suurusega. Alamosaksvõib olla kaks kõrvuti olevat ruutu ja sel juhul võib tehte vastus olla kirjutatudnendevahelisele joonele. Joonisel 2.13 on kujutatud liitmistehtega sudoku,tähistatud alamosades on antud alamosas olevate arvude summa, sellist sudokutnimetatakse sumdokuks või killer sudokuks.6 5275893 1Joonis 2.12. Maagiline sudoku21

Joonis 2.13. Sumdoku (Daily Online Killer Sudoku)"Suurem kui" sudoku on eriline seetõttu, et sellisel sudokul ei pea ette andmamitte ühtegi arvu, antud on ainult võrratuste märgid (joonis 2.14).Joonis 2.14. "Suurem kui" sudoku (Sudoku, 2011)Sudokulaadsed mõistatusedErineva kujuga. Mitmed arvmõistatused on lahenduvad nö sudokureeglite järgi, kuiderinevad sudokust oma kuju poolest, st tegu ei ole enam ladina ruutudega. Selliseidmõistatusi on väga erinevate geomeetriliste kujunditena, nii tasapinnalisi kui ka22

uumilisi. Levinumad on poolkuubi sudokud, ringikujulised, kuusnurksed, kolmnurksedja rööpkülikukujulised mõistatused.Näiteks ringikujulise sudoku (joonis 2.15) korral tuleb numbrid 0-9 kirjutada igasserõngasse ja igasse kahte kõrvutiolevasse sektorisse (Round Sudoku).Joonis 2.15. Ringikujuline sudoku (Round Sudoku)Sisuliselt erinevad. Sudokul on üheks oluliseks osaks alamruudud või sudoku liikidepuhul alamosad, milles lubatud arvud peavad esinema täpselt üks kord. Sisuliselterinevateks loetakse antud töös need sudokuga sarnanevad mõistatused, millesalamosade tingimus ei kehti. Antud töös vaatleme kahte populaarsemat sudokulaadsetarvmõistatust. KenKen ehk calcudoku on aritmeetiliste tehetega seotud mõistatus ningkakuro on ristsõnadele sarnanev arvmõistatus.KenKenKenKen (joonis 2.16) on aritmeetiliste tehetega seotud arvmõistatus, mis sarnanebaritmeetiliste tehetega seotud sudokudega. Selle arvmõistatuse loojaks on Jaapanimatemaatikaõpetaja Tetsuya Miyamoto, mõistatus pärineb 2004. aastast ja loodudõppimiseks.KenKen on ladina ruut nagu sudokugi, see tähendab, et täidetud nxn tabelis peavadigas reas ja igas veerus esinema arvud 1 - n täpselt üks kord. Mänguväljal ontumedama joonega eristatud alamosad ja iga alamosa ülemises vasakus nurgas onüks arv ja aritmeetilise tehte märk. Alamosas olevate arvudega tuleb mingis23

järjekorras sooritada etteantud tehe ning selle vastuseks on antud arv. Teisisõnu onlahendaja ülesandeks leida sobivad arvud ning seejärel paigutada need õigestilahtritesse (KenKen).7+ 1-2: 2- 3-6∙ 2:3Joonis 2.16. KenKen (KenKen)KakuroKakuro (joonis 2.17) on ristsõnadele sarnanev arvmõistatus, enam ei ole tegu ladinaruuduga. Mänguväli tuleb täita numbritega 1 - 9, vihjetena on antud arvud, mis onvastavatesse lahtritesse kirjutatavate numbrite summaks, kusjuures liidetavadpeavad olema erinevad. Nii nagu ristsõnas kirjutatakse ka kakuros vihje vastusvastavalt kas vasakult paremale või ülevalt alla (Kakuro, 2010).Joonis2.17. Kakuro (Kakuro, 2010)2.4 Sudoku lahendamistehnikad ja -strateegiadSudokude lahendamiseks kasutatakse mitmeid lahendamistehnikaid ja -strateegiaid.Strateegia on kaugema eesmärgi saavutamiseks koostatud tegevuskava (Strateegia. Eestikeele seletav sõnaraamat). Antud juhul tähendab see lahendamisplaani, mille osadekson lahendamissammude ehk täidetavate lahtrite valimine ja nende lahtrite täitmiseks24

kasutatavad tehnikad. Lahendamistehnika all mõeldakse samme, mis tuleb sooritada ühekonkreetse lahtri täitmiseks.Järgnevalt esitatakse soovitused (toetuvad eelkõige autori isiklikulelahendamiskogemusele) täidetavate lahtrite järjekorra valimiseks ning lihtsamatelahendamistehnikate kirjeldused. Lahendamistehnikate kirjeldamisel lähtutakse Lee,Goodwini ja Johnson-Lairdi artiklist The psychological puzzle of Sudoku (2008).Lahtrite valimineSudokude lahendamisel võib lahtrite valimine toimuda juhuslikult või süstemaatiliselt.Juhuslik valimine toimib edukalt mitmete lihtsate sudokude lahendamisel, kuid jubaveidi keerukamate mõistatuste korral on mõistlikum toimida mingi süsteemi järgi.Üheks võimaluseks on täita lahtreid numbrite (kasvavas või kahanevas) järjekorras. Seetähendab, et esimesena vaadatakse numbrit 1, liigutakse vasakult paremale ja ülevaltalla ühe alamruudu kaupa. Kui alamruudus on 1 olemas, siis liigutakse järgmissealamruutu. Kui alamruudus ei ole numbrit 1, siis liigutakse konkreetses alamruudusveeru ning seejärel rea kaupa. Kui õnnestub üheselt määrata numbri 1 asukoht, siistäidetakse lahter, muul juhul liigutakse järgmisse alamruutu. Kui numbriga 1 on kõikalamruudud uuritud, siis toimitakse samamoodi ka kõigi ülejäänud numbritega ja niijätkatakse tsüklina, kuni mõistatus on lahendatud.Teine võimalus on otsida üles rida (read), veerg (veerud) või alamruut (alamruudud),milles on enamus lahtritest juba täidetud, seejärel teha selgeks, millised numbrid onpuudu ja vaadata, kas puuduolevaid numbreid saab tühjadesse lahtritesse üheseltpaigutada.Kolmas võimalus on leida number (numbrid), mida on hetkel lahtrites kõige rohkem,seejärel vaadata, millistes ridades, veergudes ja alamruutudes on see number veelpuudu, kui lahtri saab üheselt määrata, siis lisada see number.Esitatud meetodeid võib omavahel kombineerida (näiteks kasutada esimest meetodidnumbrite esinemissageduse järgi) ja iga lahendaja võib avastada uusi ja endalesobivamaid võimalusi.25

LahendamistehnikadSudokude lahendamisel kasutatavad tehnikad saab jagada lihtsateks ja keerulisemateks(advanced) ning välistamis- ja lisamistehnikateks (Lee, Goodwin, Johnson-Laird,2008).Lihtne tehnika on selline, mille korral saab ühe konkreetse numbri paiknemise otsustadaainult olemasolevate numbrite põhjal. Näiteks, kui reas on olemas numbrid 1, 2, 3, 4, 5,6, 7 ja 8, siis on seal üks tühi lahter ja ainus võimalus on, et seal peab olema puuduolevnumber ehk 9.Keerulisema tehnika korral leitakse numbri jaoks võimalikud lahtrid, ühte lahtrisse võibsobida mitu erinevat numbrit. Lõplik paigutus saadakse leitud võimaluste analüüsimisel(täpsemalt võib lugeda Lee, Goodwin, Johnson-Laird, 2008 ja lehelt Sudoku Dragon).Lihtsa välistamistehnika puhul välistatakse vaadeldava lahtri jaoks 8 numbrit 9-st, seegalahter tuleb täita ainsa numbriga, mida ei saa välistada. Teisisõnu tähendab see, etvaadeldava lahtriga seotud reas ja/või veerus ja/või alamruudus on olemas 8 erinevatnumbrit ja seetõttu ükski neist ei sobi antud lahtrisse.Lihtne lisamistehnika tähendab, et konkreetse numbri paigutamiseks välistatakse teatudlahtrid. Näiteks, kui alamruudus ei ole numbrit 1, kuid number 1 esineb alamruudugaseotud esimeses ja teises reas, siis järelikult number 1 peab olema alamruudu kolmandasreas. Kui seal reas on kaks täidetud lahtrit, siis ainus võimalus on, et 1 paikneb ainsastühjas lahtris.Lihtsad lisamis- ja välistamistehnikaid saab omakorda liigitada keerukuse alusel.Keerukus tähendab antud juhul korraga vaadeldavate piirkondada (rida, veerg jaalamruut) arvu. Järgnevalt on toodud näited võimalike keerukusastmete kohta.LisamistehnikadKeerukus = 2: korraga vaadeldakse alamruutu ja ühte rida (või veergu). Joonisel 2.18on alamruudus puudu number 1, sümboliga x tähistatud lahtrid on täidetud ja number 1esineb väljaspool alamruutu alamruudu teises reas. Ainus võimalus on lisada number 1sümboliga ? täidetud lahtrisse.x x x1x x ?Joonis 2.18. Lisamistehnika Keerukus = 226

Keerukus = 3: korraga vaadeldakse alamruutu ning kahte rida või kahte veergu võiühte rida ja ühte veergu. Joonisel 2.19 on alamruudus puudu number 2, sümboliga xtähistatud lahtrid on täidetud ja number 2 esineb väljaspool alamruutu alamruudu teisesreas ja teises veerus. Ainus võimalus on lisada number 2 sümboliga ? täidetud lahtrisse.xxx ?2Joonis 2.19. Lisamistehnika Keerukus = 32Keerukus = 4: korraga vaadeldakse alamruutu ning kahte rida ja ühte veergu või kahteveergu ja ühte rida. Joonisel 2.20 on alamruudus puudu number 3, sümboliga xtähistatud lahter on täidetud ja number 3 esineb väljaspool alamruutu alamruuduesimeses ja teises reas ning teises veerus. Ainus võimalus on lisada number 3sümboliga ? täidetud lahtrisse.33x ?3Joonis 2.20. Lisamistehnika Keerukus = 4Keerukus = 5: korraga vaadeldakse alamruutu ning kahte rida ja kahte veergu. Joonisel2.21 on alamruudus puudu number 4, number 4 esineb väljaspool alamruutu alamruuduesimeses ja teises reas ning esimeses ja teises veerus. Ainus võimalus on lisada number4 sümboliga ? täidetud lahtrisse.?444 4Joonis 2.21. Lisamistehnika Keerukus = 5VälistamistehnikadKeerukus = 1: vaadeldakse ühte rida, ühte veergu või ühte alamruutu. Joonisel 2.22 onteises reas olemas arvud 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ja 8, seega sümboliga ? tähistatud lahtrissetuleb kirjutada number 9.27

1 2 3 4 5 6 7 8 ?Joonis 2.22. Välistamistehnika Keerukus = 1Keerukus = 2: vaadeldakse korraga ühte rida ja ühte veergu. Joonisel 2.23 on teisesreas olemas arvud 1, 2, 3, 4, 5 ja 6 ja teises veerus arvud 7 ja 8, seega sümboliga ?tähistatud lahtrisse tuleb kirjutada number 9.781 2 3 4 5 6?Joonis 2.23. Välistamistehnika Keerukus = 2Keerukus = 3: vaadeldakse korraga ühte rida, ühte veergu ja ühte alamruutu. Joonisel2.24 on teises reas olemas arvud 1, 2, 3 ja 4, teises veerus arvud 7 ja 8 ning alamruudusarvud 5 ja 6, seega sümboliga ? täidetud lahtrisse tuleb kirjutada number 9.7851 2 3 4 ?6Joonis 2.24. Välistamistehnika Keerukus = 3Lihtsad lahendamistehnikad sobivad eelkõige algajale lahendajale lihtsama raskusastmesudokude lahendamiseks. Keerukate sudokude lahendamiseks neist ei piisa.28

3 Sudokude ja sudokulaadsete mõistatuste sihipärane kasutaminematemaatikaõpetusesSudokusid ja sudokulaadseid mõistatusi saab matemaatika tundides kasutada erinevateleesmärkidel. Õpilased võivad neid lahendada lihtsalt vahelduseks või veerandilõputundides, kuid kindlasti oleks mõistlikum rakendada neid mõne teema harjutamiseks jakinnistamiseks või otseselt mõne teema õppimiseks. Antud töös tähendab sihipäranekasutamine eelkõige seda, et õpetaja rakendab sudokusid ja sudokulaadseid mõistatusimatemaatiliste pädevuste saavutamiseks.Selles peatükis selgitatakse sudokude ja sudokulaadsete mõistatuste õppetööskasutamise võimalusi. Esmalt põhjendatakse, miks sudokusid ja sudokulaadseidmõistatusi on mõistlik sihipäraselt kasutada toetudes antud teemaga seotud uuringutele.Seejärel vaadeldakse, kuidas saab sudokusid kasutada matemaatikaülesande üldistelahendamisstrateegiate tuletamiseks ja tõestuse olemuse selgitamiseks. Peatüki viimasesosas antakse lühike ülevaade kirjeldatud mõistatuste kasutamisest ainealaste teadmisteja oskuste kinnistamiseks ning tuuakse näide, kuidas KenKen aitab kinnistadaarvutamisoskust. Kasutatud mõistatuste lahendused on esitatud lisas 1.3.1 Miks kasutada sudokusid ja sudokulaadseid mõistatusimatemaatika õpetamisel?Sudokusid ja sudokulaadseid mõistatusi saab kasutada kõigi õppekavas esitatud seitsmeüldpädevuse arendamiseks.Sudokude lahendamine nõuab õpilaselt püsivust, täpsust ja sihikindlust. Nendelahendamiseks on üks reegel: igas reas, igas veerus ja igas alamruudus tohib arvukasutada täpselt üks kord. Sellest reeglist kinnipidamine viib õige lõpptulemuseni.Kindlasti tuleks õpilastele tutvustada sudokude ajalugu, seejuures võiks rääkida kamaagilistest ruutudest, nii on õpilastele võimalik näidata matemaatika ilu ja aidata neilmõista matemaatika rolli erinevates kultuurides.Sudokude ja sudokulaadsete mõistatuste lahendamine pakub võimalusi erinevateõppemeetodite rakendamiseks, neid võib lahendada iseseisvalt, paarilisega või rühmas,29

nende lahendamine võib olla mänguline, nende abil saab kasutada mõistatustelpõhinevat õpet.Sudokude lahendamine põhineb deduktiivsel järeldamisel, see tähendab, et lahendajateeb tõestest eeldustest tõeseid järeldusi. Uuringuga on näidatud, et inimesed onvõimelised tegema deduktiivseid järeldusi ka siis, kui nad ei ole õppinud loogikat egatreeninud oma loogilise järeldamise oskusi (Lee, Goodwin, Johnson-Laird, 2008). Lee,Goodwin ja Johnson-Laird (2008) viisid läbi katse, milles lasti üliõpilastel, kes polnudkunagi sudokusid lahendanud, lahendada kolm erineva raskusastmega mõistatust, igamõistatuse lahendamiseks oli aega 15 minutit. Katsealuste ülesandeks oli etteantud ajajooksul täita võimalikult palju tühje lahtreid ning nad pidid iga numbri valikutkirjalikult põhjendama. Selgus, et katsealused kasutasid lihtsaid lahendustehnikaid (vtptk 2.4), kusjuures enam kasutati välistamistehnikaid. Seega olid katsealused vägalühikese ajaga võimelised iseseisvalt tuletama lihtsamad lahendustehnikad sudokudelahendamiseks. Lee, Goodwin ja Johnson-Laird (2008) toovad välja, et olenematapäritolust oskavad inimesed teha sudokude lahendamiseks vajalikke deduktiivseidjäreldusi. Inimesed on võimelised tegema abstraktseid järeldusi ja nad naudivad selleoskuse kasutamist. Nad mainivad, et on tõendeid, mis viitavad, et abstraktsete teemadekaudu võib matemaatika õpetamine olla efektiivsem kui konkreetsete eluliste ülesannetekaudu.Miami ülikooli professor Dr. Jeffrey Wanko uurib, kuidas mõjutab keelest sõltumatutemõistatuste lahendamine õpilaste loogilise põhjendamise oskuse arengut. Wanko (2010)toob välja, et tõestamine on koolis seotud peamiselt geomeetriaga ehk ainult ühematemaatika valdkonnaga. Eestis tutvutakse tõestuse ja tõestamisega põhikoolikolmandas astmes (samuti geomeetria teemade abil). Teema hiline ja kitsas käsitleminevõivad olla põhjused, miks väga paljudel õpilastel on tõestuste ja deduktiivsepõhjendamisega raskusi. Ühe lahendusena pakutakse välja, et tõestuste ja tõestamiseõppimisega peaks alustama noorematest klassidest ja see õppimine peaks olemauurimuslik. Eelnevast lähtuvalt uuriski Wanko, kuidas mõjutab arvmõistatustekasutamine õpilaste deduktiivse järeldamise oskust. Uuringus osalesid 5. kuni 8. klassiõpilased, 10 nädala jooksul lahendati erinevaid arvmõistatusi. Iga arvmõistatusekäsitlemine algas selle analüüsimisest, tehti selgeks reeglid ja eesmärgid. Edasi järgnespaaristöö mõistatuse lahendamiseks, seejärel arutleti lahenduste üle ja koos arutledes30

jõuti esimeste lahendustehnikateni. Järgmisel etapil lahendati veel antud liiki mõistatusi,et veenduda tehnikate kehtivuses (Wanko, 2010). Wanko kasutas mõistatustel põhinevatõpet. Tulemustena toob ta välja, et enamikel juhtudel paranesid õpilaste deduktiivsepõhjendamise oskused, nad kasutasid arutlemisel lauseid: "Ma tean, et see peab olematõsi, sest ma juba tean, et..." või "Kuna see ja see ei kehti, siis see peab olema tõsi."Õpilased olid huvitatud mõistatuste lahendamisest, nad arutlesid omaprobleemilahendamise strateegiate üle ja üldistasid õpitut teistele loogikaprobleemidele. Õpilaste enesekindlus suurenes, nad vastasid rohkem küsimustele, tegidrohkem jooniseid ja organiseerisid oma mõtlemist paremini.Töö autor märkas 5. klassi õpilaste huvi sudokude lahendamise vastu ja tutvustasõpilastele KenKen-i. Reeglite tutvustamise järel asusid õpilased mõistatusi lahendama,enamus olid selleks kohe võimelised. Raskusi tekkis üksikutel nõrgematel õpilastel.Juba esimese mõistatuse lahendamisega olid õpilastel kujunenud esimesedlahendamisstrateegiad. Nõrgemad õpilased vajasid esimese mõistatuse lahendamiseksõpetaja abi, kuid järgmisega said juba iseseisvalt hakkama. Tunni lõpus soovisidmitmed õpilased (nii tugevamad, keskmised kui ka nõrgemad) mõistatusi koduslahendamiseks, lahendamine jätkus ka vahetundides. Õpilased olid entusiastlikud japositiivsed.Kirjeldatud uuringud näitavad, et inimestel on oskus teha deduktiivseid järeldusi ningseda oskust saab arendada arvmõistatustega. Sihipäraselt kasutades areneb seejuures kaõpilaste matemaatikapädevus.3.2 Sudokude ja sudokulaadsete mõistatuste kasutaminelahendamisstrateegiate tuletamiseksMatemaatika üheks väga oluliseks (võib olla isegi, et kõige olulisemaks) osaks onprobleemide lahendamise oskuse kujundamine. Üldise probleemilahenduse kaksesimest ja tõenäoliselt kõige tähtsamat etappi on probleemist arusaamine jalahendusstrateegia leidmine/tuletamine (vt ptk 1.3).Õpilased on võimelised sudokusid ja arvatavasti ka osasid sudokulaadseid mõistatusilahendama juba esimeses kooliastmes (võib-olla veelgi varem). Autoril puuduvadandmed, kas esimese kooliastme õpilased leiavad sudokude lahendusstrateegiad ise.31

Teises kooliastmes on õpilased võimelised sudokude ja sudokulaadsete mõistatustelihtsamaid lahendustehnikaid (vt kirjeldusi ptk 2.4) ja -strateegiaid ise avastama, sedakinnitab eespool kirjeldatud uuring, seda märkas töö autor oma matemaatikatundides jaseda kirjutavad ka Christian Elsholtz ja Anette Mütze artiklis Sudoku imMathematikunterricht (2007).Järgnevalt esitatakse kirjeldus õpetusest, mille eesmärgiks on arendada õpilastelahendusstrateegiate tuletamise oskust, seejuures pööratakse tähelepanu töö esimesespeatükis kirjeldatud üldiste pädevuste arendamisele. Kirjeldus on esitatud sammsammuliseltning ei ole antud ajalisi soovitusi. Autor kasutab kirjeldamisel sudokut,kuid samamoodi saab toimida ka teiste sudokulaadsete mõistatuste (üldisemaltarvmõistatuste) korral. Oluline on, et õpilased ei tea käsitletava mõistatuselahendustehnikaid. Õppetund sobib kasutamiseks eelkõige 5. - 8. klassis, kusjuures sedatuleks läbi viia korduvalt erinevate arvmõistatustega. Nii saab arendada õpilasteloogilist mõtlemist, mis on väga oluline tõestamise osa õppimisel.Esmakordsel kasutamisel ei ole arvatavasti võimalik läbida kõiki samme ühe 45-minutilise tunniga, olukord on õpilaste jaoks uus ja vajab kindlasti täpseid ja korduvaidselgitusi, mida ja kuidas teha tuleb. Raskusi võib õpilastele valmistada oma mõteteselgitamine ja kirjapanek. Probleeme võib tekkida ka rühmatöös, seda eriti juhul, kuiõpilastel puuduvad varasemad kogemused. Soovituslik on eelnevates tundides vajalikkeosaoskusi katsetada ja harjutada. Mitme õppetunni kasutamisel peab uus tund algamameenutusega juba tehtule, õpilased peaksid ise meenutama, mida eelmine kord tehti jamilliste tulemusteni juba jõuti.Autor lähtub järgnevas kirjelduses Pólya probleemülesande lahendamise skeemist, omaisiklikest kogemustest, Wanko uuringust ning Elsholtzi ja Mütze (2007) ideedest.Lahendusstrateegiate tuletamineEsimene etapp: ülesandest arusaamine.Alguses selgitab õpetaja sudoku olemust. Selgeks tuleb teha, mida tähendab rida, veerg,alamruut ja lahter. Järgnevalt annab õpetaja õpilastele 1 - 2 sudokut koos selle/nendelahendusega/lahendustega. Õpilased arutlevad väikestes rühmades ja püüavad aru saada,mis on selle mõistatuse eesmärk. Rühmad esitavad oma ideed ja koos arutledessõnastatakse sudoku lahendamise reegel (reeglid).32

Teine etapp: lahendustehnikate ja -strateegiate tuletamine.Kui mõistatuse olemus ja reeglid on selged, siis annab õpetaja igale õpilaseleiseseisvaks lahendamiseks ühe (kergema raskusastmega) sudoku. Raskusastme valikultuleb õpetajal arvestada õpilaste võimetega ja nende eelneva arvmõistatustelahendamise kogemusega. Nõrgemate õpilaste korral ja teema esmakordsel käsitlemiselon mõistlik valida selline mõistatus, milles on vähe täitmata lahtreid ja millelahendamine nõuab eelkõige madalama keerukusega lihtsamate tehnikate (vt ptk 2.4)kasutamist.Kõikidele võib anda ühesuguse mõistatuse, kuid võib kasutada ka mitut erinevat.Seejuures tuleks siiski jälgida, et iga mõistatust lahendab vähemalt kaks õpilast. See onoluline järgneva arutelu jaoks.Iseseisval lahendamisel on oluline, et õpilane kirjutaks iga sammu ehk numbri lisamisejuurde selgituse, miks ta arvab, et just see konkreetne number tuleb konkreetsesselahtrisse paigutada. Selgituste kirjutamine on abiks üldiste seaduspärasuste märkamisel.Õpilased peaksid peagi avastama, et esitatud põhjendused on sarnased ja hakkavadkorduma.Sellel etapil on väga oluline, et õpetaja märkaks hätta sattunud õpilasi (tõenäoliseltklassi nõrgemad) ja aitaks neid esimeste sammudega (nii sobiva numbri otsimisel kui kapõhjenduse sõnastamisel).Kõigile õpilastele tuleks anda piisavalt aega, et nad jõuaksid oma sudoku lõpunilahendada. Nii saab õpilane positiivset tagasisidet oma võimekusele mõistatustlahendada ja tema enesekindlus järgmiste lahendamiseks suureneb. Kui klassis on vägaerineva tempoga õpilased, siis üheks võimaluseks on anda kiirematele lahendamiseksjärgmine, veidi keerulisem (nõuab ka suurema keerukusega lihtsate tehnikatekasutamist) sudoku.Kui kõik on vähemalt ühe mõistatuse iseseisvalt lahendanud, jätkub töö väikestes (2-3-liikmelistes) rühmades. Rühma liikmed on eelnevalt lahendanud ühesuguseidsudokusid. Koos uuritakse kirjapandud põhjendusi ja rühmitatakse neid sarnasusealusel. Iga rühma ülesandeks on kirjalikult sõnastada, milliseid erinevaid võtteid nadlahendamiseks kasutasid ning millest lahendamist alustasid. Kirjalikult sõnastamine onvajalik, et järgneva arutelu käigus midagi ära ei ununeks. Õpetaja peab jälgima rühmadetööd ja vajadusel õpilasi suunama.33

Teise etapi viimaseks osaks on klassiarutelu, mille eesmärgiks on sõnastadalahendusstrateegiad ja -tehnikad.Esimesed küsimused, millele ühiselt vastus leitakse on: "Kuidas alustada sudokulahendamist?" ja "Kuidas valida järgmist sammu?" Iga rühm esitab oma idee(d), igajärgneva idee esitamisega kaasneb arutelu, kas see idee on uus, st erineb sisuliselt jubaolemasolevatest või on juba olemas, st erineb olemasolevatest ainult sõnastuse poolest.Kuna õpilased on eelneva töö käigus palju kirjutanud, siis nüüd peaks saadud tulemusedüles kirjutama õpetaja, parim sõnastus tuleks leida koos õpilastega. Tulemused tulebkirjutada võimalusel suur(t)ele paberi(te)le või arvutisse. Väiksem tahvel selleks ei sobi,sest ruumipuuduse korral tuleks osa materjali sealt ära kustutada.Järgmisena sõnastatakse lahendamistehnikad, teisisõnu vastatakse küsimusele: "Kuidaslahtreid täita?" Jällegi esitab iga rühm oma ettepanekud ja iga ettepaneku esitamiselejärgneb analüüs, kas esitatu on mõne juba olemasoleva tehnikaga sama või erinebeelnevatest. Koos (õpetaja oskusliku suunamise abil) otsitakse parim sõnastus ja õpetajakirjutab tulemused üles. Saadud tehnikad tuleb nummerdada või anda neile nimetused,nii on järgmisel etapil neile lihtne viidata.Kolmas etapp: lahendustehnikate ja -strateegiate rakendamine/kontrollimine.Lahendustehnikate ja -strateegiate sõnastamisele järgneb nende kontrollimine.Õpilastele antakse lahendada mõned sudokud, mille lahendamiseks piisabolemasolevatest tehnikatest. Nüüd on õpilaste ülesanne igal sammul jälgida ja ülesmärkida, millist kirjapandud võtet nad kasutavad. Eesmärgiks on veenduda, et leitudtehnikad tõepoolest kehtivad. Sellel etapil võib õpilastel tekkida veel ideid, mismoodion kasulik mõistatuse lahendamist alustada ja järgmist sammu valida, sel juhul tuleksneed ka sõnastada ja täiendada olemasolevat nimekirja.Neljas etapp: tagasivaade ja edasise huvi tekitamine.Töö lõppeb kokkuvõttega. Koos arutatakse veel kord läbi, mida tehti, miks nii tehti jamilleni jõuti. Oluline on mõelda sellele, kas samamoodi tegutsedes saaks ka teisi(probleem)ülesandeid lahendada.Lõpetuseks võiks õpetaja mainida, et sudokusid on erineva suurusega ja erinevaraskusastmega. Õpilastele tuleks pakkuda võimalust jätkata sudokude lahendamistkodus (näiteks on õpetajal ette valmistatud erinevaid sudokusid). Õpetaja peakssuunama kõiki õpilasi lahendama erineva raskusastmega sudokusid. Selle eesmärgiks34

on kontrollida, kas tunnis leitud lahendamisvõtetest piisab ning innustada õpilasivajadusel otsima uusi võimalusi. Selline edasine lahendamine peab olema rangeltvabatahtlik, muul juhul võib õpilastel tekkida arvmõistatuste suhtes vastumeelsus.3.3 Sudokude kasutamine tõestuse olemuse selgitamiseksPõhikooli riikliku õppekava järgi omandavad õpilased esmase tõestamisoskusekolmandas kooliastmes. Õppeprotsessi kirjeldusega on täpsustatud, et tõestuse jatõestamisega tutvutakse 8. klassis. Käibelolevates 8. klassi õpikutes on tõestaminetihedalt seotud geomeetriaga, esitatud on ka üksikud arvudega seotud teoreemid(Kaldmäe, Kontson, Matiisen ja Pais, 2007; Lepik, Nurk, Telgmaa ja Undusk, 2000;Veelmaa, 2000). See tähendab, et õpilased peavad tõestamise mõistmiseks ennekõikeoskama ka geomeetriat ehk ühte küllaltki spetsiifilist valdkonda matemaatikast. Autoron arvamusel, et sellise esituse korral on võimalik tõestamisest aru saada neil õpilastel,kes orienteeruvad hästi geomeetrias, kuid geomeetrias nõrkadele õpilastele ei ole seejõukohane. Sellest lähtuvalt võiks tõestamise olemust selgitada mõne lihtsama,õpilastele tuttavama näitega.Sudokude lahendamisel kasutatakse deduktiivset järeldamist ja mitmeid tõestamiseleomaseid võtteid: otsene tõestamine, tõestamine kõikide võimaluste läbivaatamise teel,vastuväiteline tõestamine ja tagurdusmeetod (backtracking) (Snyder, 2010). BrianSnyder (2010) kirjutab, et sudoku täielikku lahendust võib vaadata kui teoreemi ning igaüksiku lahtri täitmist abiteoreemi või järeldusena. Ta soovitab kasutada sudokuttõestamise olemuse selgitamiseks.Järgnevalt ongi esitatud näide õppetunnist, mille eesmärgiks on selgitada tõestamiseolemust. Esitatud käsitlus sobib juhul, kui õpilased oskavad sudokusid lahendada(nende lahendamisega on tegeletud ka tundides), eelnevalt võiks olla läbitud alapeatükis3.2 kirjeldatud õpetus, kuid see ei ole määrava tähtsusega. Eeldatakse, et õpilased ontutvunud mõistetega aksioom, teoreem ja tõestamine. Õppekavast ja õppeprotsessikirjeldusest lähtuvalt on kõige mõistlikum kasutada seda 8. klassis tõestamise teema üheosana.Õppetunni koostamisel on lähtutud Snyderi artiklist Using Sudoku to Introduce ProofTechniques (2007).35

Tõestamise selgitamine sudoku abilEsitatud kirjelduses mõeldakse sõnastamise ja meenutamise juures, et see toimub ühiseklassiaruteluna, kui ei ole kirjutatud teisiti. Õpetajal on võimalus kasutada ka teisimeetodeid (näiteks rühmatöö), oluline on, et õpilased oleksid igal sammul aktiivsedosalejad.Terminite selgitamine.Tund algab mõistete aksioom, teoreem ja tõestamine kordamisega, meenutada tulebsudokus kasutatavate terminite rida, veerg, alamruut ja lahter tähendust ja klassikalisesudoku lahendamise reeglit: "Igas reas, igas veerus ja ja igas alamruudus esinevadnumbrid 1 - 9 täpselt üks kord."Sudoku lahendamise reegel koosneb kolmest osast ja antud juhul on vajalik vaadata igaosa eraldi, seetõttu sõnastatakse eraldi kolm reeglit:1. Rea reegel: igas reas on numbrid 1 - 9 täpselt üks kord.2. Veeru reegel: igas veerus on numbrid 1 - 9 täpselt üks kord.3. Alamruudu reegel: igas alamruudus on numbrid 1 - 9 täpselt üks kord.Järgnevalt tuleb kokku leppida ühine meetod lahtritele viitamiseks, selleks onpõhimõtteliselt kaks võimalust:1. Kasutada koordinaattasandile omast punkti koordinaatide määramist. Näiteks 2.veerus ja 4. reas paikneva lahtri koordinaadid on (2;4).2. Kasutada malelauale (laevade pommitamise mängule) iseloomulikku asukohamääramist. Sel juhul tähistatakse veerud tähtedega a, b, ..., i ja read numbritega1 - 9. Näiteks 2. veerus ja 4. reas paikneva lahtri koordinaadiks on b4.Kui kõik õpilased oskavad koordinaattasandil punkti koordinaate määrata ja see ei oleülemäära aeganõudev, siis tuleks kasutada esimest lahtrite määramise varianti. Muuljuhul on teine variant tõenäoliselt lihtsam ja paremini jälgitav. Antud juhul kasutatakseteist võimalust.Sudoku lahendamineJärgneb sudoku iseseisev või paaris lahendamine. Eesmärgiks võib olla mõistatusetäielik lahendamine (kõikide lahtrite täitmine) või ainult osade lahtrite täitmine. Esitatudnäites on eesmärk täita ainult need lahtrid, millesse tuleb kirjutada number 1.36

Õpilastele antakse lahendamiseks joonisel 3.1 esitatud sudoku, nad peavad leidmakõikide ühtede asukohad ja täitma vastavad lahtrid. Õpetaja suunab õpilasi otsima sellistlahendust, mille korral on võimalik täita ainult vajalikud lahtrid. Iseseisval lahendamiselkirjutavad õpilased selgitused, mille põhjal nad sellise otsuseni jõudsid, paarislahendamisel võivad selgitused olla suulised.Aksioomid ja teoreemi sõnastamineKui õpilased on kõikide ühtede asukohad leidnud, siis selgitab õpetaja, et antud sudokutja selle lahendust võib vaadelda kui teoreemi. Lahenduseks tehtud samme, koospõhjendusega aga kui selle teoreemi tõestust. Õpetaja sõnastab teoreemi.Teoreem. Joonisel 3.1 esitatud sudokus on number 1 lahtrites c1, d2, g3, b6, e4, i5, a8,f7 ja h9 (joonis 3.2).a b c d e f g h i1 4 62 2 5 7 33 4 14 2 1 45 3 9 6 56 1 3 87 7 68 1 5 2 79 6 4Joonis 3.1 Lahendamiseks antav sudoku (Snyder, 2010)a b c d e f g h i1 1 4 62 2 1 5 7 33 4 14 2 1 45 3 9 6 5 16 1 3 87 7 1 68 1 5 2 79 6 4 1Joonis 3.2 Numbri 1 paiknemine (Snyder, 2010)Pärast teoreemi sõnastamist tuleb selgeks teha, mis on antud (teoreemi eeldus) ja midaon vaja näidata (teoreemi väide). Koos arutletakse selle üle, mida me eelduse põhjal37

teame, õpetaja suunamisel jõutakse selleni, et antud juhul on aksioomideks rea reegel,veeru reegel ja alamruudu reegel.Teoreemi tõestamineJärgnevalt selgitab õpetaja samm-sammult teoreemi tõestamist. Iga järgneva sammujuures arutletatakse ühiselt, millise lahtri saab järgmisena täita ja õpilased esitavadsuuliselt oma põhjendused. Seejärel see samm sõnastatakse ja kirjutatakse tahvlile võiarvutisse. Esimesed sammud sõnastab õpetaja, kuid järgnevatel sammudel tuleksrohkem kaasata ka õpilasi ja leida parim sõnastus ühiselt.Järgnevalt on esitatud kirjapandud tõestuse üks võimalik variant.Tõestus:1. Eelduse põhjal on number 1 lahtrites g3, b6, e4 ja a8.2. Veeru reegli põhjal peab number 1 asuma veerus c, see saab alamruudu reeglipõhjal olla ainult ülemises vasakus alamruudus ja rea reegli põhjal ei saa see olla3. reas. Seega on ainus võimalus, et number 1 on lahtris c1.3. Rea reegli põhjal peab number 1 asuma 2. reas, see ei saa olla lahtrites a2, b2, g2ega h2, sest see oleks vastuolus alamruudu reegliga. Seega peab number 1asuma lahtris d2.4. Rea reegli põhjal peab number 1 asuma 5. reas, see ei saa olla lahtrites a5, d5, e5ega f5, sest see oleks vastuolus alamruudu reegliga. Seega number 1 peab olemalahtris i5.5. Alamruudu reegli põhjal peab number 1 asuma alumises parempoolsesalamruudus. See ei saa olla lahtrites g7, g9, i7, i8 ega i9, sest nendel juhtudeltekiks vastuolu veeru reegliga. Rea reegli põhjal ei saa number 1 olla ka lahtrish8. Järelikult on number 1 lahtris h9.6. Ainus rida, milles on puudu number 1 on rida 7, ja ainus veerg, milles on puudunumber 1 on veerg f, seetõttu peab number 1 asuma lahtris f7. Saadud tulemuson kooskõlas ka alamruudu reegliga.7. Saime, et number 1 paikneb lahtrites c1, d2, g3, b6, e4, i5, a8, f7 ja h9. M.O.T.T.38

Iseseisev harjutamineÕpetaja annab õpilastele iseseisvaks harjutamiseks uue sudoku, mõistatus peab olemalihtne. Kui eesmärgiks on täita kõik lahtrid, siis peaks tühje lahtreid olema vähe, sellekssobib hästi 4x4 või 6x6 sudoku.Õpilased peavad esmalt sudoku ära lahendama, siis sõnastama teoreemi ja seejärel selleteoreemi ka tõestama. Teoreemi sõnastamisel ja tõestamisel on abiks eelnevalt tahvlilevõi arvutisse kirjutatud tõestus.TagasivaadeLõpetuseks arutletakse, mille poolest erineb tõestamine lihtsalt põhjendamisest jakuidas tõestatakse. Õpetaja peab juhtima tähelepanu, et tõestamine toimub sarnaselt kateiste matemaatikas esinevate teoreemide korral.3.4 Sudokude ja sudokulaadsete mõistatuste kasutaminematemaatika ainealaste teadmiste ja oskuste kinnistamiseksSudokude liike ja sudokulaadseid mõistatusi saab kasutada mitmete matemaatikateemade kinnistamiseks. Arvutamisega seotud mõistatused aitavad kinnistadaarvutamisoskust, seejuures korrutamisega seotud mõistatuste lahendamisel kinnistub kaarvu teguri mõiste. Erineva kujuga mõistatuste puhul kasutatakse geomeetria mõisteid,näiteks klassikalises sudokus kasutatakse mõistet ruut, 6x6 sudokus mõistet ristkülikning ringikujulise sudoku korral mõisteid ring ja sektor.Mitmed sudoku liigid ja sudokulaadsed mõistatused on loodud eeskättmatemaatikaõpetuses kasutamiseks (näiteks KenKen). Õppimise otstarbel on näiteksprojekti NRICH raames koostatud sudokusid järgmistel teemadel: aritmeetilised tehted,arvude vähim ühiskordne, hulkade ühisosa, arvude suhte väljendamine hariliku murrunajne (Mathematics Enrichment).Järgnevalt on ühe näite põhjal selgitatud, milliseid arvutamisega seotud oskusi kinnistabKenKen-i lahendamine.39

KenKen-i lahendamineJoonisel 3.3 on liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamisega seotud 4x4 KenKen.6∙ 3 2-3-3- 5+ 2:1-Joonis 3.3 4x4 KenKen (KenKen)Lahtrite täitmiseks saab kasutada numbreid 1, 2, 3 ja 4. Järgnevalt on esitatudarvutamisega seotud küsimused, millele õpilane peab mõistatuse lahendamisel vastuseidotsima. Lihtsamate mõistatuste korral on vastuseid võimalik leida ka katsetamise teel,kuid raskemate lahendamiseks tuleb läheneda süstemaatiliselt.1. Milliste lubatud kolme arvu korrutis on 6?Õpilane võib vastuse leida katsetamisega, kuid teda tuleks suunata otsima antudkorrutise tegureid. Antud juhul sobivad teguriteks 1, 2 ja 3. Seega selgub, etainus võimalus on 1 23 6 .2. Milliste lubatud arvude vahe on 2?Õpilast võiks suunata vastust otsima süstemaatiliselt. Selleks tuleks validavähendatav, mis peab olema suurem kui 2 ja siis kasutades tehete omadusi saableida vähendaja. Seega võimalused on 4 2 2 ehk sobib tehe 4 2 või3 2 1ehk sobib tehe 3 1.3. Milliste lubatud arvude vahe on 3?Eelnevast selgitusest lähtuvalt on ainus võimalus 4 3 1 ehk tehteks sobib4 1.4. Milliste lubatud arvude vahe on 1?Õpilane võib kasutada eelnevaga analoogset lähenemist, kuid teda tulekssuunata mõtlema, et vahe saab olla 1 ainult järjestikuste arvude korral. Seegasobivad 4 ja 3, 3 ja 2 või 2 ja 1.5. Milliste lubatud arvude summa on 5?Sarnaselt punktis 2 esitatuga, tuleks ka siin suunata õpilasi lähenemasüstemaatiliselt. Teisisõnu tuleks antud juhul valida üks liidetav, mis on väiksem40

kui 5 ja siis leida teine liidetav. Seega võimalused on 5 1 4 ehk tehe on 1 4või 5 2 3 ehk tehe on 2 3.6. Milliste lubatud arvude jagatis on 2?Ka siin tuleks õpilast suunata. See tähendab, et tuleb leida arvud, mis jaguvadarvuga 2 ehk jagatavaks sobivad paarisarvud. Tuleb leida jagaja. Seegavõimalused on 4 2 2 ehk tehe on 4 2 või 2 2 1 ehk tehe on 2 1.KenKen-i (mõtestatud) lahendamisega kinnistuvad aritmeetiliste tehete liikmetevahelised seosed, arvu tegurite leidmise oskus ja jaguvuse tunnused. Kui lahendamistselgitada sõnaliselt, siis kinnistuvad ka mõisted liidetav, summa, vähendatav,vähendaja, vahe, tegur, korrutis, jagatav, jagaja ja jagatis.41

KokkuvõteMatemaatikahariduse üheks suureks probleemiks on õpilaste negatiivne suhtuminematemaatikasse. Seetõttu on põhikooli uues riiklikus õppekavas senisest enamtähelepanu pööratud õpimotivatsiooni hoidmisele ja tõstmisele ning matemaatikasuhtes positiivse hoiaku kujundamisele. Õpetaja peab otsima erinevaid võimalusitundide rikastamiseks, kasutada tuleks ülesandeid ja meetodeid, mis on õpilastelehuvitavad, millega tegelemisest nad rõõmu tunnevad ja mis neid ka arendaksid.Aastatel 2004-2005 sai ülemaailmselt väga populaarseks arvmõistatus sudoku ning seeon populaarne siiani. Esialgsest klassikalisest 9x9 sudokust on nüüdseks tuletatud enamkui 100 sudoku liiki ja mitmeid sudokulaadseid mõistatusi.Kui klassikalise sudoku lahendamine nõuab ainult deduktiivset järeldamist, siis sudokuliikide ja sudokulaadsete mõistatuste lahendamise korral on kaasatud ka mitmedmatemaatilised oskused, näiteks arvutamine.Mitmed autorid, peamiselt USA-st ja Suurbritanniast, on kirjeldanud sudokudekasutamist matemaatikaõpetuses. Nende ideedest lähtuvalt kirjeldati antud töös, kuidassaaks sudokude abil arendada õpilaste üldist lahendamisstrateegiate tuletamise oskust.Esitatud meetodi abil kinnistub üldine probleemilahendamise oskus. Sudokut saabkasutada ka tõestamise olemuse selgitamiseks. Töös kirjeldatud tunni abil saabõpilastele selgitada tõestamist ilma, et see nõuaks neilt erilisi matemaatilisi teadmisi jaoskusi.Mõistatuste kasutamine õpetamisel on õppemeetodina uus. Selleteemaline raamat ilmus2008. aastal Austraalias ning praegu toimuvad vastavad koolitused peamiselt USA-s jaAustraalias. J. Wanko uurib arvmõistatuste kasutamise mõju õpilaste loogilisepõhjendamisoskuse arendamisele. Töös kirjeldatud pilootuuringu tulemused onlootustandvad, uuringus osalenud õpilaste deduktiivse järeldamise oskus jasuhtlemisoskused paranesid.Sudokusid (ja ka teisi arvmõistatusi) võiks kasutada lahendamisstrateegiate tuletamiseksja loogilise põhjendamisoskuse arendamiseks peamiselt seetõttu, et inimesed tunduvadolevat võimelised vastavaid (lihtsamaid) lahendamisstrateegiaid ise avastama. Antudtöö autor on märganud, et sellega saavad hakkama ka teise kooliastme õpilased.Sudokude ja sudokulaadsete mõistatuste kasutamine õppetöös ning mõistatustel põhinev42

õppimine on küllaltki uued teemad, seega on nende mõju matemaatikaõpetusele väheuuritud. Ka Eestis sellised uuringud puuduvad.Antud tööd võib vaadata kui sissejuhatust mõistatustel põhinevasse õppimisse jaarvmõistatuste sihipärasesse kasutamisse matemaatikaõpetuses. Vaadeldud mõistatusedon vaid osa arvmõistatustest ja veelgi väiksem osa mõistatustest.Töös esitatud ideed vajavad katsetamist ja edasiuurimist. Kui uuringud kinnitavad, etarvmõistatused aitavad tõepoolest õpilastel paremini mõista lahendamisstrateegiatetuletamist ja tõestamise olemust ning on abiks matemaatika õppimisel, siis tuleksmatemaatikaõpetust ka vastavalt ümber korraldada.43

Using Sudokus and Sudoku-Related Puzzles in the Learning ofMathematics in Middle SchoolAnnika TeskaSummaryMathematics is rather difficult and unpleasant for students. Therefore every teachershould find ways to make mathematics easier to understand and the learning processenjoyable.Sudokus and other numerical puzzles have become very popular since 2004. This thesisgives an overview of the use of Sudoku in learning and improving mathematics skills.An explanation is given on how Sudokus can be used to teach the deduction of problemsolvingstrategies, to introduce proof techniques and to improve arithmetic skills. Threeexamples are described. The history of Sudoku, some Sudoku variants, some Sudokurelatedpuzzles (for example KenKen and Kakuro) and strategies for solving Sudokusare also presented.In the USA, the UK and Australia, some articles have been published about usingpuzzles in learning. Dr Wanko from Miami University researches the development ofstudents’ logical-reasoning skills through the use of language-independent puzzles. Thisthesis gives an overview about his pilot study, which showed students’ improvement indeductive reasoning and communication skills.There are several possibilities to use Sudokus and numerical puzzles in mathematics,some of them are presented in this thesis.It seems that people are capable of discovering some solving strategies for numericalpuzzles by themselves. The author has noticed that even primary school children werecapable of such autonomous discoveries. That is one of the reasons why teachers shoulduse Sudokus to teach how to deduce problem solving strategies and to develop students’logical reasoning skills.44

Kasutatud kirjandusAdler, A. (1996). What is a magic square? Külastatud 29. mail 2011 aadressilhttp://mathforum.org/alejandre/magic.square/adler/adler.whatsquare.htmlAfanasjev, J. (2004). Matemaatikaõpetuse konstruktivistlikust käsitlusest. T. Lepmann(Koost.), Matemaatika õpetamisest koolis. Tallinn: Argo, 113 - 117.Block, S. S., & Tavares, S. A. (2009). Before Sudoku. The World of Magic Squares.New York: Oxford University Press.Boyer, C. (2007). Sudoku's French Ancestors. Springer Science & Business Media, 29,1, 37 - 44.Daily Online Killer Sudoku. Külastatud 30. mail 2011 aadressilhttp://www.dailykillersudoku.com/Delahaye, J.-P. (2006). The science behind sudoku. Scientific American, 294, 6, 80 - 87.Dobson, L. (2006). The Puzzle Master. Psychology Today, May, 32.Elsholtz, C., & Mütze, A. (2007). Sudoku im Mathematikunterricht. MathematischeSemesterberichte, 54, 1, 69 - 93.Emanouilidis, E. (2007). Latin and cross Latin squares. International Jornal ofMathematical Education in Science and Technology, 697-700.Even/Odd Sudoku online. Külastatud 29. mail 2011 aadressil http://www.sudokuspace.com/Hayes, B. (2006). Unwed Numbers. American Scientist, 94, 1. Külastatud 29. mail2011 aadressil http://www.americanscientist.org/issues/pub/2006/1/unwed-numbers/2Helme, K. (2008, 22. veebruar). Suhtumist matemaatikasse tuleb muuta. Õpetajate leht.Külastatud 29. mail 2011 aadressilhttp://www.opleht.ee/Arhiiv/2008/22.02.08/tekstid/aine/10.htmlKakuro. (2010). Külastatud 29. mail 2011 aadressil http://en.wikipedia.org/wiki/KakuroKaldmäe, K., Kontson, A., Matiisen, K., & Pais, E. (2007). Matemaatika 8. klassile Iosa. Tallinn: Avita.KenKen. Külastatud 30. mail 2011 aadressil http://www.kenken.com/45

Koppel, I. (2010). Matemaatikaärevusega toimetulemine. S.Pihlap (Koost.),Matemaatika valdkonnaraamat põhikooliõpetajale. Külastatud 29. mail 2011 aadressilhttp://www.oppekava.ee/index.php/P%C3%B5hikooli_valdkonnaraamat_MATEMAATIKAKrull, E. (2000). Pedagoogilise psühholoogia käsiraamat. Tartu: TÜ Kirjastus.Lee, N. Y. L., Goodwin, G. P., & Johnson-Laird, P. N. (2008). The psychologicalpuzzle of Sudoku. Thinking & reasoning, 14 (4), 342 - 364.Lepik, M., Nurk, E., Telgmaa, A., & Undusk, A. (2005). Matemaatika 8. klassile.Tallinn: Koolibri.Lepmann, L. (2010). Õppekava üldosa taotluste realiseerimine matemaatikas. S. Pihlap(Koost.), Matemaatika valdkonnaraamat põhikooliõpetajale. Külastatud 29. mail 2011aadressilhttp://www.oppekava.ee/index.php/P%C3%B5hikooli_valdkonnaraamat_MATEMAATIKALepmann, L., & Lepmann, T. (1995). Teeme ise matemaatikat. Tallinn: Avita.Lepmann, T. (2006). Edukus ja suhtumine matemaatikasse TIMSS 2003 andmetel. E.Abel, & L. Lepmann (Toim.), Koolimatemaatika XXXIII. Tartu: Tartu ÜlikooliKirjastus, 45-49.Lind, A. (1991). Sada vakka tarkuseteri. Tallinn: Koolibri.Mathematics Enrichment. Külastatud 29. mail 2011 aadressilhttp://nrich.maths.org/public/Michalewicz, M., & Michalewicz, Z. (2008). Puzzle-Based Learning: An Introductionto Critical Thinking, Mathematics, and Problem Solving. Melbourne, Australia: HybridPublishers.Motivatsioon. Eesti keele seletav sõnaraamat. Külastatud 29. mail 2011 aadressilhttp://www.keeleveeb.eeMägi, K. (2010). Motivatsiooniline areng. E. Kikas (Toim.), Õppimine ja õpetamineesimeses ja teises kooliastmes, 90 - 105.Pehkonen, E., & Pehkonen, L. (1997). Nüüd on minu kord. Õppimismänge põhikoolimatemaatika õpetamiseks. Tallinn: Avita.Perelman, J. I. (1948). Elav matemaatika. Tartu: RK Teaduslik kirjandus.Pólya, G. (2001). Kuidas seda lahendada. Tallinn: Valgus.46

Pruulmann, K. (2010). Õpiraskustega õpilased. Kikas, E. (Toim.) Õppimine jaõpetamine esimeses ja teises kooliastmes, 186 - 212.Puzzle-Based Learning. Külastatud 29. mail 2011 aadressilhttp://www.puzzlebasedlearning.edu.au/Põhikooli riiklik õppekava. (2011). Külastatud 29. mail 2011 aadressilhttps://www.riigiteataja.ee/akt/114012011001Ramos, P.-J. (2011). Who invented sudoku? Külastatud 29. mail 2011 aadressilhttp://www.suite101.com/content/who-invented-sudoku-a335438Rand, P. (1985). Matemaatilised mängud koolis. Tallinn: Eesti NSVHaridusministeerium.Raun, A. (2010). Mureõpilased vaevlevad enim matemaatika küüsis. Postimees, 29.märts 2010. Külastatud 29. mail 2011 aadressil http://www.postimees.ee/?id=243136Round Sudoku. Külastatud 29. mail 2011 aadressil http://www.roundsudoku.com/Royle, G. Minimum Sudoku. Külastatud 29. mail 2011 aadressilhttp://mapleta.maths.uwa.edu.au/~gordon/sudokumin.phpSimson, P. (2010). Sotsioloog Ivi Proos: riskilapsi on koolis 45 protsenti. EestiPäevaleht, 30. juuni 2010. Külastatud 29. mail 2011 aadressilhttp://www.epl.ee/artikkel/579342Snyder, B. A. (2010). Using Sudoku to Introduce Proof Techniques. Primus, 20(5),383 - 391.Strateegia. Eesti keele seletav sõnaraamat. Külastatud 29. mail 2011 aadressilhttp://www.keeleveeb.eeSudoku. (2006). Õigekeelsussõnaraamat. Külastatud 29. mail 2011 aadressilhttp://www.keeleveeb.ee/Sudoku. (2011). Külastatud 29. mail 2011 aadressil http://en.wikipedia.org/wiki/SudokuSudoku Dragon. Külastatud 29. mail 2011 aadressil http://www.sudokudragon.com/Sudoku Variants. (2010). Külastatud 29. mail 2011 aadressilhttp://www.worldpuzzle.org/wiki/index.php/Sudoku_VariantsSudoku Variants. Külastatud 29. mail 2011 aadressilhttp://www.sachsentext.de/en/taxonomy/term/13747

Sudokude lahendamise Eesti meistrivõistlused 2011 (2011). Külastatud 29. mail 2011aadressilhttp://www.kuma.ee/index.php?lang=est&main_id=2579&PHPSESSID=3014f85b620702fe0afc50b669df39fcThomas, E. J., & Brunsting, J. R. (2010). Styles and Strategies for Teaching MiddleSchool Mathematics. USA: Thoughtful Education Press.Tõnso, T. (2006). Sudoku ja matemaatika. E. Abel, & L. Lepmann (Toim.),Koolimatemaatika XXXIII. Tartu: Tartu Ülikooli Kirjastus, 88 - 93.Veelmaa, A. (2000), Matemaatika VIII klassile. Tallinn: Mathema.Wanko, J. (2010). Deductive puzzling. Students can improve their deductive reasoningand communication skills by working on number puzzles. Mathematics teaching in themiddle school, 15, 9, 524 - 529.World Puzzle Federation. Külastatud 29. mail aadressilhttp://www.worldpuzzle.org/championships/48

Lisa 1. Mõistatuste lahendused4 5 2 1 3 7 6 8 98 6 3 9 4 2 7 5 19 1 7 8 5 6 4 3 26 8 9 5 2 4 3 1 72 7 4 6 1 3 8 9 51 3 5 7 9 8 2 4 65 2 8 3 7 9 1 6 43 4 1 2 6 5 9 7 87 9 6 4 8 1 5 2 3Joonis 2.1. Klassikaline sudoku2 4 5 8 6 1 3 9 76 5 8 2 9 7 4 3 11 3 2 5 7 4 8 6 97 9 6 3 1 5 2 8 43 8 1 6 4 9 7 2 54 7 3 9 5 2 6 1 89 6 7 4 8 3 1 5 25 2 4 1 3 8 9 7 68 1 9 7 2 6 5 4 3Joonis 2.9. Nonamino sudoku (Tõnso, 2006)1 6 5 4 3 22 4 3 6 1 53 2 1 5 4 64 5 6 3 2 15 1 4 2 6 36 3 2 1 5 4Joonis 2.6. 6x6 sudokuB A D CD C A BC D B AA B C DJoonis 2.7. 4x4 tähesudoku7 2 5 8 9 3 4 6 18 4 1 6 5 7 3 9 23 9 6 1 4 2 7 5 84 7 3 5 1 6 8 2 91 6 8 4 2 9 5 3 79 5 2 3 7 8 1 4 62 3 4 7 6 1 9 8 56 8 7 9 3 5 2 1 45 1 9 2 8 4 6 7 3Joonis 2.8. Diagonaalne sudoku6 7 9 2 4 5 3 1 82 1 8 3 7 6 9 5 47 6 4 5 2 8 1 3 93 8 1 6 9 7 2 4 59 2 5 4 1 3 8 6 78 3 7 9 6 4 5 2 15 4 2 8 3 1 7 9 61 9 6 7 5 2 4 8 34 5 3 1 8 9 6 7 2Joonis 2.10. Toorikujuline sudoku (Tõnso,2006)7 2 9 6 8 3 1 5 44 3 1 9 2 5 7 6 86 5 8 4 1 7 3 2 98 7 4 2 3 6 9 1 53 9 2 1 5 8 4 7 65 1 6 7 9 4 2 8 39 6 7 8 4 2 5 3 11 8 3 5 7 9 6 4 22 4 5 3 6 1 8 9 7Joonis 2.11. Paaris-paaritu sudoku (Sudokuspace)49

6 2 7 8 4 3 1 9 58 4 3 1 9 5 6 2 71 9 5 6 2 7 8 4 39 5 1 2 7 6 4 3 84 3 8 9 5 1 2 7 62 7 6 4 3 8 9 5 15 1 9 7 6 2 3 8 43 8 4 5 1 9 7 6 27 6 2 3 8 4 5 1 9Joonis 2.12. Maagiline sudoku text)Joonis 2.15. Ringikujuline sudoku (RoundSudoku)3 4 1 22 1 3 44 3 2 11 2 4 3Joonis 2.16. KenKen (KenKen)Joonis 0.2. Sumdoku (Daily Online KillerSudoku)Joonis2.17. Kakuro (Kakuro)Joonis 2.14. "Suurem kui" sudoku(Sudoku)

a b c d e f g h i1 3 7 1 9 8 4 5 2 62 8 6 2 1 5 7 4 9 33 9 4 5 2 6 3 1 7 84 5 2 8 6 1 9 3 4 75 7 3 9 8 4 2 6 5 16 4 1 6 7 3 5 9 8 27 2 5 7 3 9 1 8 6 48 1 8 4 5 2 6 7 3 99 6 9 3 4 7 8 2 1 5Joonis 3.1. Lahendamiseks antav sudoku2 1 3 43 4 1 24 2 2 11 2 4 3Joonis 3.3 4x4 KenKen (KenKen)