Ispitni zadaci - PMF
Ispitni zadaci - PMF
Ispitni zadaci - PMF
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Prvi parcijalni ispit iz predmeta Matematičke metodefizike I(16.11.2012. godine)STUDENT:(PREZIME I IME)ZADACI1. Van der Waalsova jednačina stanja realnog gasa CO 2 je data izrazomp =0, 08TV − 0, 00427 − 3, 6 ,V 2gdje je p pritisak, T termodinamička temperatura, a V zapremina gasa. Naći brzinupromjene pritiska u trenutku kada je V = 1, 5 m 3 i T = 200 K ako se temperatura gasasmanjuje brzinom 10 K dok se zapremina povećava brzinom 2 m3 .ss2. Zgrada u obliku kvadra je dizajnirana na takav način da minimizira gubitak toplote.Istočni i zapadni zidovi gube toplotu brzinom 10 jedinica toplote po m 2 u toku jednogdana, dok južni i sjeverni zidovi gube 8 jedinica toplote po m 2 u toku jednog dana.Baza zgrade gubi toplotu brzinom 1 jedinice toplote po m 2 u toku jednog dana, a krovbrzinom 5 jedinica toplote u toku jednog dana. Koristeći se metodom Lagrangeovihmultiplikatora odredi dužinu stranica zgrade ako je zapremina zgrade V = 4000 m 3 .3. Pod pretpostavkom da su Φ i Ψ dovoljno puta diferencijabilne funkcije dokazati jednakostx 2 ∂2 u∂x + 2xy ∂2 u2 ∂x∂y + ∂2 u( y) ( y y2∂y = 0 , ako je u = Φ + xΨ .2 x x)4. Gustina tijela nastalog presjekom sfere x 2 + y 2 + z 2 = 16 i cilindra x 2 + y 2 = 4x jeproporcionalna rastojanju od z-ose. Skicirati ovo tijelo u XY Z koordinatnom sistemui odrediti:(a) Ukupnu zapreminu tijela.(b) Ukupnu površinu tijela.(c) Ukupnu masu tijela.(d) Moment inercije tijela u odnosu na z-osu.(e) Koordinate centra mase tijela.2
Prvi parcijalni ispit iz predmeta Matematičke metodefizike I(21.12.2012. godine)STUDENT:(PREZIME I IME)ZADACI1. Dato je vektorsko polje⃗A(x, y, z) = (y + z)⃗i + (x + z)⃗j + (x + y) ⃗ k .(a) Ispitati da li je vektorsko polje potencijalno polje i ako jeste naći potencijal polja.(b) Koliki rad izvrši vektorsko polje duž krive C koja je data u parametarskom oblikux(t) = 2 sin t , y(t) = 4 cos t , z = 5t , 0 ≤ t ≤ 2π .2. Izračunati fluks vektorskog polja ⃗ A(x, y, z) = x⃗i + 2y⃗j − z ⃗ k kroz spoljnu stranu dijelakonusa z = √ x 2 + y 2 ograničenog ravnima z = 0 i z = 1. Zadatak riješiti na dvanačina.3. Čestica pod uticajem sile ⃗ F (x, y) = x⃗i + (x 3 + 3xy 2 )⃗j kreće se duž x−ose od tačke(−2, 0) do tačke (2, 0), a zatim duž polukruga y = √ 4 − x 2 do početne tačke. Odreditirad sile duž ove krive.4. Naći opšte rješenje nehomogene linearne jednačine drugog reday ′′ + y ′ − 2y = 6x 2 .3
Završni ispit iz predmeta Matematičke metode fizike I(16.01.2012. godine)STUDENT:(PREZIME I IME)ZADACI1. Ako je z = xyx−ydokažite da vrijedi∂ 2 z∂x + 2 ∂2 z2 ∂x∂y + ∂2 z∂y = 22 x − y.2. Uvodeći generalisane polarne koordinatenaći zapreminu ograničenu površinamax = ar cos n ϕ , y = br sin n ϕ ,x 2p + y2q = 2z, x 2a + y2= 1, z = 0.2 b2 3. Materijalna tačka kreće se duž krive ⃗r(t) = cos t⃗i + sin t⃗j + t ⃗ k od tačke (1, 0, 0) do tačke(−1, 0, 3π) pod uticajem sile ⃗ F = − 1 2 x ⃗i − 1 2 y ⃗j + 1 4 ⃗ k. Naći dužinu putanje i rad sile dužkrive.4. Kroz pravolinijski provodnik teče struja promjenljivog intenziteta i(t) = 28 cos ( 30π t)ampera stvarajući magnetno polje jačineB = µ 0i2πr , µ 0 = 4π · 10 −7 Tm/A ,na rastojanju r od provodnika (pogledati sliku).(a) Naći magnetni fluks Φ(t) kroz žičani okvir ako je L = 1, 2 m, H = 0, 7 m, id = 0, 1 m.(b) Koristeći se Faradayevim zakonom naći pad napona (indukovanu elektromotornusilu) koja nastaje u žičanom okviru.4
Slika 1: Promjenom magnetnog fluksa kroz žičani okvir nastaje protok električne struje.5. Naći u obliku potencijalnog reda rješenje diferencijalne jednačine:y ′′ − 2xy ′ + y = 0 .5
Popravni ispit iz predmeta Matematičke metode fizike I(30.01.2012. godine)STUDENT:(PREZIME I IME)ZADACI1. Ako je u = f(x, y) gdje je x = e s cos t i y = e s sin t, pokazati da vrijedi jednakost:( )∂ 2 u∂x + ∂2 u ∂ 22 ∂y = u2 e−2s∂s + ∂2 u.2 ∂t 22. (a) Naći zapreminu tijela ograničenog površinama x 2 + y 2 + z 2 = 3a 2 i x 2 + y 2 = 2az,(z ≥ 0).(b) Odredite moment inercije tijela u odnosu na z−osu ako je gustina tijela direktnoproporcionalna rastojanju od z−ose.3. Izračunati∫I = (x + z)dS ,Sako je S cilindar y 2 + z 2 = 9 između x = 0 i x = 4 u prvom oktantu.4. Riješite slijedeće diferencijalne jednačine:(a) y ′ x 3 = 2y,(b) y ′′ + y = e x + x 3 uz početne uslove y(0) = 2 i y ′ (0) = 0.6
Popravni ispit iz predmeta Matematičke metode fizike I(29.08.2012. godine)STUDENT:(PREZIME I IME)ZADACI1. Ako je u = f(x, y) gdje je x = e s cos t i y = e s sin t, pokazati da vrijedi jednakost:( )∂ 2 u∂x + ∂2 u ∂ 22 ∂y = u2 e−2s∂s + ∂2 u.2 ∂t 2(25%)2. Površinska gustoća površi u obliku konusaje proporcionalna rastojanju od z-ose.(a) Odrediti ukupnu masu date površi.z = 4 − 2 √ x 2 + y 2 , 0 ≤ z ≤ 4 ,(b) Odrediti momente inercije površi u odnosu na z, x i y−osu. (25%)3. (a) Ispitati da je vektorsko polje F ⃗ = (2xz 3 + 6y)⃗i + (6x − 2yz)⃗j + (3x 2 z 2 − y 2 ) ⃗ kkonzervativno polje?∫(b) Izračunati ⃗F · d⃗r, gdje je C proizvoljna kriva koja spaja tačke (1, −1, 1) iC(2, 1, −1). Koji je fizikalni smisao dobijenog rezultata? (25%)4. Primjenom metode varijacije konstante riješiti diferencijalnu jednačinu(25%)y ′′ + y ′ − 2y = sin x .7