Ispitni zadaci - PMF

Prvi parcijalni ispit iz predmeta Matematičke metodefizike I(16.11.2012. godine)STUDENT:(PREZIME I IME)ZADACI1. Van der Waalsova jednačina stanja realnog gasa CO 2 je data izrazomp =0, 08TV − 0, 00427 − 3, 6 ,V 2gdje je p pritisak, T termodinamička temperatura, a V zapremina gasa. Naći brzinupromjene pritiska u trenutku kada je V = 1, 5 m 3 i T = 200 K ako se temperatura gasasmanjuje brzinom 10 K dok se zapremina povećava brzinom 2 m3 .ss2. Zgrada u obliku kvadra je dizajnirana na takav način da minimizira gubitak toplote.Istočni i zapadni zidovi gube toplotu brzinom 10 jedinica toplote po m 2 u toku jednogdana, dok južni i sjeverni zidovi gube 8 jedinica toplote po m 2 u toku jednog dana.Baza zgrade gubi toplotu brzinom 1 jedinice toplote po m 2 u toku jednog dana, a krovbrzinom 5 jedinica toplote u toku jednog dana. Koristeći se metodom Lagrangeovihmultiplikatora odredi dužinu stranica zgrade ako je zapremina zgrade V = 4000 m 3 .3. Pod pretpostavkom da su Φ i Ψ dovoljno puta diferencijabilne funkcije dokazati jednakostx 2 ∂2 u∂x + 2xy ∂2 u2 ∂x∂y + ∂2 u( y) ( y y2∂y = 0 , ako je u = Φ + xΨ .2 x x)4. Gustina tijela nastalog presjekom sfere x 2 + y 2 + z 2 = 16 i cilindra x 2 + y 2 = 4x jeproporcionalna rastojanju od z-ose. Skicirati ovo tijelo u XY Z koordinatnom sistemui odrediti:(a) Ukupnu zapreminu tijela.(b) Ukupnu površinu tijela.(c) Ukupnu masu tijela.(d) Moment inercije tijela u odnosu na z-osu.(e) Koordinate centra mase tijela.2

Prvi parcijalni ispit iz predmeta Matematičke metodefizike I(21.12.2012. godine)STUDENT:(PREZIME I IME)ZADACI1. Dato je vektorsko polje⃗A(x, y, z) = (y + z)⃗i + (x + z)⃗j + (x + y) ⃗ k .(a) Ispitati da li je vektorsko polje potencijalno polje i ako jeste naći potencijal polja.(b) Koliki rad izvrši vektorsko polje duž krive C koja je data u parametarskom oblikux(t) = 2 sin t , y(t) = 4 cos t , z = 5t , 0 ≤ t ≤ 2π .2. Izračunati fluks vektorskog polja ⃗ A(x, y, z) = x⃗i + 2y⃗j − z ⃗ k kroz spoljnu stranu dijelakonusa z = √ x 2 + y 2 ograničenog ravnima z = 0 i z = 1. Zadatak riješiti na dvanačina.3. Čestica pod uticajem sile ⃗ F (x, y) = x⃗i + (x 3 + 3xy 2 )⃗j kreće se duž x−ose od tačke(−2, 0) do tačke (2, 0), a zatim duž polukruga y = √ 4 − x 2 do početne tačke. Odreditirad sile duž ove krive.4. Naći opšte rješenje nehomogene linearne jednačine drugog reday ′′ + y ′ − 2y = 6x 2 .3

Završni ispit iz predmeta Matematičke metode fizike I(16.01.2012. godine)STUDENT:(PREZIME I IME)ZADACI1. Ako je z = xyx−ydokažite da vrijedi∂ 2 z∂x + 2 ∂2 z2 ∂x∂y + ∂2 z∂y = 22 x − y.2. Uvodeći generalisane polarne koordinatenaći zapreminu ograničenu površinamax = ar cos n ϕ , y = br sin n ϕ ,x 2p + y2q = 2z, x 2a + y2= 1, z = 0.2 b2 3. Materijalna tačka kreće se duž krive ⃗r(t) = cos t⃗i + sin t⃗j + t ⃗ k od tačke (1, 0, 0) do tačke(−1, 0, 3π) pod uticajem sile ⃗ F = − 1 2 x ⃗i − 1 2 y ⃗j + 1 4 ⃗ k. Naći dužinu putanje i rad sile dužkrive.4. Kroz pravolinijski provodnik teče struja promjenljivog intenziteta i(t) = 28 cos ( 30π t)ampera stvarajući magnetno polje jačineB = µ 0i2πr , µ 0 = 4π · 10 −7 Tm/A ,na rastojanju r od provodnika (pogledati sliku).(a) Naći magnetni fluks Φ(t) kroz žičani okvir ako je L = 1, 2 m, H = 0, 7 m, id = 0, 1 m.(b) Koristeći se Faradayevim zakonom naći pad napona (indukovanu elektromotornusilu) koja nastaje u žičanom okviru.4

Slika 1: Promjenom magnetnog fluksa kroz žičani okvir nastaje protok električne struje.5. Naći u obliku potencijalnog reda rješenje diferencijalne jednačine:y ′′ − 2xy ′ + y = 0 .5

Popravni ispit iz predmeta Matematičke metode fizike I(30.01.2012. godine)STUDENT:(PREZIME I IME)ZADACI1. Ako je u = f(x, y) gdje je x = e s cos t i y = e s sin t, pokazati da vrijedi jednakost:( )∂ 2 u∂x + ∂2 u ∂ 22 ∂y = u2 e−2s∂s + ∂2 u.2 ∂t 22. (a) Naći zapreminu tijela ograničenog površinama x 2 + y 2 + z 2 = 3a 2 i x 2 + y 2 = 2az,(z ≥ 0).(b) Odredite moment inercije tijela u odnosu na z−osu ako je gustina tijela direktnoproporcionalna rastojanju od z−ose.3. Izračunati∫I = (x + z)dS ,Sako je S cilindar y 2 + z 2 = 9 između x = 0 i x = 4 u prvom oktantu.4. Riješite slijedeće diferencijalne jednačine:(a) y ′ x 3 = 2y,(b) y ′′ + y = e x + x 3 uz početne uslove y(0) = 2 i y ′ (0) = 0.6

Popravni ispit iz predmeta Matematičke metode fizike I(29.08.2012. godine)STUDENT:(PREZIME I IME)ZADACI1. Ako je u = f(x, y) gdje je x = e s cos t i y = e s sin t, pokazati da vrijedi jednakost:( )∂ 2 u∂x + ∂2 u ∂ 22 ∂y = u2 e−2s∂s + ∂2 u.2 ∂t 2(25%)2. Površinska gustoća površi u obliku konusaje proporcionalna rastojanju od z-ose.(a) Odrediti ukupnu masu date površi.z = 4 − 2 √ x 2 + y 2 , 0 ≤ z ≤ 4 ,(b) Odrediti momente inercije površi u odnosu na z, x i y−osu. (25%)3. (a) Ispitati da je vektorsko polje F ⃗ = (2xz 3 + 6y)⃗i + (6x − 2yz)⃗j + (3x 2 z 2 − y 2 ) ⃗ kkonzervativno polje?∫(b) Izračunati ⃗F · d⃗r, gdje je C proizvoljna kriva koja spaja tačke (1, −1, 1) iC(2, 1, −1). Koji je fizikalni smisao dobijenog rezultata? (25%)4. Primjenom metode varijacije konstante riješiti diferencijalnu jednačinu(25%)y ′′ + y ′ − 2y = sin x .7