postavka zadataka u pdf formatu - 663KB - Alas

844. Ako je T težište poligona A 1 . . . A n upisanog u krug k i ako su B 1 , . . . , B ntačke u kojima prave A 1 T, . . . , A n T seku krug k, dokazati da jeA 1 T+ . . . + A nT= n.T B 1 T B n845. Ako su p 1 , . . . , p 2n odstojanja proizvoljne tačke P kruga l od pravih kojesadrže stranice A 1 A 2 , . . . , A 2n A 1 poligona A 1 . . . A 2n upisanog u krug l, dokazatida jep 1 · p 3 · p 5 · . . . · p n = p 2 · p 4 · . . . · p 2n .846. Ako su p 1 , . . . , p n odstojanja proizvoljne tačke P kruga l od pravih kojesadrže stranice n-tougla A 1 . . . A n upisanog u krug l, a q 1 , . . . , q n odstojanjatačke P od dirki kruga l u tačkama A 1 , . . . , A n , dokazati da jep 1 · p 2 · . . . · p n = q 1 · q 2 · . . . · q n .847. Ako su a 1 , . . . , a n duži jednake stranicama A 1 A 2 , . . . , A n A 1 n-touglaA 1 . . . A n upisanog u krug l, a p 1 , . . . , p n odstojanja proizvoljne tačke P lukaA n A 1 kruga l od pravih koje sadrže stranice A 1 A 2 , . . . , A n A 1 , dokazati da jea 1p 1+ a 2p 2+ . . . + a n−1p n−1= a np n.10.3. Pravilni poligoniDefinicija 10.1. Prost ravan poligon kome su jednake sve stranice i svi unutrašnjiuglovi nazivamo pravilnim. Prost ravan poligon kome je zadovoljen samo jedanod pomenutih dvaju uslova nazivamo polupravilnim. Stoga razlikujemo dvevrste polupravilnih poligona i to polupravilne jednakostranične i polupravilnejednakougaone poligone.U ovom članu proučavaće se pravilni poligoni.848. Ako je r poluprečnik i P proizvoljna tačka kruga opisanog oko pravilnogpoligona A 1 . . . A n , dokazati da jeP A 2 1 + . . . + P A 2 n = 2nr 2 .849. Ako su M 1 , . . . , M n središta stranica A 1 A 2 , . . . , A n A 1 pravilnog poligonaA 1 . . . A n , a P proizvoljna tačka kruga k(O, r) opisanog oko tog poligona, i astranica tog poligona, dokazati da jeP M 2 1 + . . . + P M 2 n = 2nr 2 − 1 4 na2 .850. Ako je r poluprečnik opisanog kruga i ϱ poluprečnik upisanog krugapravilnog poligona A 1 . . . A n , zatim P proizvoljna tačka upisanog kruga, dokazatida jeP A 2 1 + . . . + P A 2 n = n(r 2 + ϱ 2 ).851. Ako su A 1 , . . . , A n i B 1 , . . . , B n dva pravilna poligona s jednakim brojemstranica, upisana u isti krug k, i ako je P proizvoljna tačka u ravni tog kruga,dokazati da jeP A 2 1 + . . . + P A 2 n = P B 2 1 + . . . + P B 2 n.88