postavka zadataka u pdf formatu - 663KB - Alas

831. Ako je skup {A 1 , . . . , A n } od n tačaka nekog kruga l(O, r) razložen naproizvoljan način na dva podskupa S 1 i S 2 tačaka, dokazati da su ortocentri tihpodskupova simetrični me - du sobom u odnosu na središte S datog skupa tačaka.832. Ako je S središte, a H ortocentar proizvoljnog skupa {A 1 , . . . , A n } od ntačaka nekog kruga l(O, r), dokazati da se H i podskupova {A 1 , . . . , A i−1 , A i+1 , . . . , A n }nalaze na izvesnom krugu l ′ kome je središte H, a poluprečnik jednak duži r.833. Ako je {A 1 , . . . , A n } proizvoljan skup od n tačaka nekog kruga l(O, r),dokazati da se prave n i kroz tačke A i upravne na centralnim pravama s i podskupova{A 1 , . . . , A i−1 , A i+1 , . . . , A n } seku u ortocentru H datog skupa tačaka.834. Ako je S centar i H ortocentar proizvoljnog skupa {A 1 , . . . , A n } sa ntačaka nekog kruga l(O, r), dokazati da ortocentri S i podskupova {A 1 , . . . , A i−1 , A i+1 , . . . , A n },podnožje B i upravnih iz tačaka A i na centralnim pravama s i podskupova {A 1 , . . . , A i−1 , A i+1 , . . . , A n }i središta C i duži HA i pripadaju jednom krugu k, kome je središte S, a poluprečnikjednak polovini duži r. Krug k nazivamo Ojlerovim karakterističnim krugomdatog skupa tačaka.835. Dokazati da se ortopolovi P ijk centralnih pravih p ijk podskupova{A 1 , . . . , A i−1 , A i+1 , . . . , A j−1 , A j+1 , A k−1 , A k+1 , . . . , A n }u odnosu na trouglove odre - dene tačkama A i , A j , A k datog skupa {A 1 , . . . , A n }od n tačaka nekog kruga l(O, r), nalaze na Ojlerovom karakterističnom krugudatog skupa tačaka.836. Ako je H ortocentar i K ortotežište proizvoljnog skupa {A 1 , . . . , A n } odn tačaka nekog kruga l(O, r), dokazati da težišta T i (i = 1, . . . , n) podskupova{A 1 , . . . , A i−1 , A i+1 , . . . , A n } i tačke E i duži KA i takve da je A i E i : E i K =(n − 2) : 1, pripadaju jednom krugu l 1 , kome je središte O 1 tačka duži OHtakva da je HO 1 : O 1 O = (n − 2) : 1, a poluprečnik r 1 duž takva da je r : r 1 =(n − 1) : 1.Krug l 1 nazivamo Ojlerovim centralnim krugom datog skupa tačaka.837. Ako su K, T i O 1 ortotežište, težište i središte Ojlerovog centralnog krugal 1 proizvoljnog skupa {A 1 , . . . , A n } od n tačaka nekog kruga l(O, r), dokazatida su tačke T i K harmonijski spregnute sa tačkama O i O 1 , šta više da su tačkeT i K središta sličnosti krugova l i l 1 .838. Ako je T težište i K ortotežište proizvoljnog skupa {A 1 , . . . , A n } od ntačaka nekog kruga l(O, r), dokazati da je(a)(b)(v)KT 2 =OK 2 =OT 2 = r 2 − 1 n 2 ·n∑A i A ji,j=11(n − 2) 2 · [n2 r 2 −4(n − 2) 2 · [r2 − 1 n 2 ·n∑A i A 2 j ]i,j=1n∑A i A 2 j ], i < ji,j=1839. Ako je H ortocentar, K središte i S središte proizvoljnog skupa {A 1 , . . . , A n }od n tačaka nekog kruga l(O, r), dokazati da je86