postavka zadataka u pdf formatu - 663KB - Alas

820. Ako su P i Q težišta dvaju konačnih skupova tačaka A 1 , . . . , A m i B 1 , . . . , B n ,dokazati da jeP Q 2 = 1 (∑ mmni=1 j=1n∑A i Bj 2 −m∑A i A 2 k − m ni,k=1n∑B j Bl2j,l=1821. Ako je T težište proizvoljnog skupa A 1 , . . . , A n od n tačaka i ako su P iQ dve bilo koje tačke, dokazati da je(P A 2 1 + . . . + P A 2 n) − (QA 2 1 + . . . + QA 2 n) = n((P T 2 − QT 2 ).822. Odrediti skup svih tačaka kojima je zbir kvadrata rastojanja od n datihtačaka A 1 , . . . , A n jednak kvadratu date duži l.10.2.Tetivni i tangentni poligoni).823. Dokazati da je kod prostog tetivnog poligona A 1 , . . . , A 2n s parnim brojemstranica zbir unutrašnjih uglova kod temena s neparnim indeksima jednak zbiruunutrašnjih uglova kod temena s parnim indeksima.824. Ako dva poligona A 1 , . . . , A 2n i B 1 , . . . , B 2n upisani u isti krug k imaju2n − 1 uporednih odgovarajućih stranica, dokazati da su i preostale dve odgovarajućestranice tih poligona me - du sobom uporedne.825. Ako dva poligona A 1 , . . . , A 2n+1 i B 1 , . . . , B 2n+1 upisani u isti krug k imaju2n uporednih odgovarajućih stranica, dokazati da su preostale dve odgovarajućestranice tih poligona me - du sobom jednake.826. Ako su unutrašnji uglovi tetivnog poligona A 1 , . . . , A 2n+1 s neparnimbrojem stranica me - du sobom jednaki, dokazati da je taj poligon pravilan.827. Ako je P tačka kruga opisanog oko tetivnog n-tougla A 1 , . . . , A n , dokazatida podnožja upravnih iz tačke P na Simsonovim pravama te iste tačke u odnosuna (n − 1)-touglove A 1 . . . A i−1 A i+1 . . . A n za i = 1, . . . , n pripadaju jednojpravoj koju nazivamo Simsonovom pravom tačke P u odnosu na n-tougao A 1 , . . . , A n .828. Ako je T težište proizvoljnog skupa A 1 , . . . , A n od n tačaka nekog krugal(O, r), dokazati da se prave kroz težišta podskupova A 1 , . . . , A i−1 , A i+1 , . . . , A j−1 , A j+1 , . . . , A nupravne na pravama A i A j (i, j = 1, . . . , n; i ≠ j) seku u jednoj tački, ortotežištuK datog skupa tačaka. Dokazati zatim da je tačka K na Ojlerovoj pravoj OTtog skupa tačaka, pri čemu je OT : T K = (n − 2) : 2.829. Ako je T težište proizvoljnog skupa {A 1 , . . . , A n } od n tačaka nekog krugal(O, r), metodom matematičke indukcije dokazati da se prave kroz ortocentrepodskupova {A 1 , . . . , A i−1 , A i+1 , . . . , A j−1 , A j+1 , . . . , A n } upravne na pravamaA i A j seku u jednoj tački, ortocentru H datog skupa tačaka. Dokazati zatim daje tačka H na Ojlerovoj pravoj OT datog skupa tačaka, pri čemu je HT : T O =(n − 1) : 1.830. Ako je H ortocentar proizvoljnog skupa {A 1 , . . . , A n } od n tačaka nekogkruga l(O, r), dokazati da su ortocentri H i podskupova {A 1 , . . . , A i−1 , A i+1 , . . . , A n }simetrični sa tačkama A i u odnosu na središte S duži OH. Tačku S nazivamosredištem ili centrom, a pravu s koja je u tački S upravna na Ojlerovoj pravoj,nazivamo središnjom ili centralnom pravom datog skupa tačaka.85