postavka zadataka u pdf formatu - 663KB - Alas

10. GEOMETRIJA POLIGONA10.1. Opšti poligoni814. Ako je {A 1 , . . . , A n } konačan skup od n tačaka, dokazati da se težišnelinije koje spajaju tačke A i tog skupa sa težištima T i podskupova koji se sastojeiz preostalih n − 1 tačaka seku u jednoj tački T , težištu tog skupa tačaka, pričemu jeA i T : T T i = (n − 1) : 1.815. Ako je konačan skup {A 1 , . . . , A n } od n tačaka razložen na dva podskupaS 1 i S 2 , od kojih prvi sadrži p, a drugi preostalih n − p tačaka, dokazati da setežište T datog skupa nalazi izme - du težišta T 1 i T 2 podskupova S 1 i S 2 , pričemu jeT T 1 : T T 2 = (n − p) : p.816. Ako su P 1 , . . . , P n tačke stranica A 1 A 2 , . . . , A n A 1 n-tougla A 1 , . . . A ntakve da je A 1 P 1 : P 1 A 2 = . . . = A n P n : P n A1, dokazati da se težišta poligonaA 1 , . . . A n i P 1 , . . . P n poklapaju.817. Ako je T težište proizvoljnog skupa {A 1 , . . . , A n } od n tačaka jedne ravni, iako su T ′ , A ′ 1, . . . , A ′ n} uporedne projekcije tačaka T, A 1 , . . . , A n na nekoj pravojs koja je tako - de u toj ravni, dokazati da jeT T ′ = 1 n (A 1A ′ 1 + . . . + A n A ′ n).818. (Lajbnicova teorema) Ako je T težište konačnog skupa od n tačaka {A 1 , . . . , A n }i P bilo koja tačka, dokazati da je:n∑P A 2 i =i=1n∑P A 2 i + nP T 2 .i=1819. Ako je {A 1 , . . . , A n } proizvoljan skup od n tačaka, T težište tog skupa iT i težište podskupa {A 1 , . . . , A i−1 , A i+1 , . . . , A n }, dokazati da je:(a)(b)(v)(g)nA i Ti 2 1=(n − 1) 2 [n ∑A i A 2 j −i=1i=1j=1i,j=1n∑j,k=1n∑A i T 2 n ∑n=(n − 1) 2 A i A 2 jn∑T Ti 2 1=n(n − 1) 2n∑A i T 2 = 1 ni=1n ∑i,j=1A j A 2 k]A i A 2 j, i < jn∑A i A 2 ji,j=184