postavka zadataka u pdf formatu - 663KB - Alas

9.13. Brokarove tačke trouglaSledećim zadatkom biće dokazano da u ravni proizvoljnog trougla ABC postojijedna i samo jedna tačka X takva da je XAB = XCA, zatim da postojijedna i samo jedna tačka X ′ takva da je X ′ AC = X ′ BA = X ′ CB.Tačku Xzvaćemo prvom, tačku X ′ drugom Brokarovom tačkom trougla ABC. Sem toga,poluprave AX, BX, CX zvaćemo prvim, a poluprave AX ′ , BX ′ , CX ′ drugimBrokarovim polupravama trougla ABC.780. Dokazati da u ravni trougla ABC postoji jedna i samo jedna tačka Xtakva da je XAB = XBC = XCA, zatim da postoji jedna i samo jedna tačkaX ′ takva da je X ′ AC = X ′ BA = X ′ CB.781. Dokazati da su Brokarove tačke trougla izogonalno spregnute u odnosu nataj trougao.782. Ako je ABC proizvoljan trougao, k krug koji sadrži teme B i dodirujepravu AC u tački C, a D tačka u kojoj prava kroz teme C uporedna sa stranicomAB seče krug k, dokazati da je tačka X u kojoj prava AD seče krug k prvaBrokarova tačka trougla ABC.783. Ako su X i X ′ prva i druga Brokarova tačka trougla ABC, a X a i X ′ atačke u kojima prave AX i AX ′ seku pravu BC, dokazati da je(a) BX aX a C = c2a 2 ,BX ′ aX ′ aC = a2b 2 ;(b) AX = a2 b 2 + b 2 c 2 AX ′XX a a 2 c 2 ,X ′ X a′ = b2 c 2 + a 2 c 2a 2 b 2 .784. Ako je X prva Brokarova tačka trougla ABC i ako su A ′ , B ′ , C ′ tačkeu kojima prave CX, AX, BX seku opisani krug trougla ABC, dokazati da sutrouglovi ABC i A ′ B ′ C ′ podudarni, zatim da je tačka X druga Brokarova tačkatrougla A ′ B ′ C ′ .785. Ako su X i X ′ Brokarove tačke i središte opisanog kruga trougla ABC,dokazati da je OX = OX ′ .786. Ako su P, Q, R podnožja upravnih iz bilo koje Brokarove tačke X nastranicama BC, CA, AB, dokazati da je △ABC ∼ △RP Q.787. Ako su P, Q, R podnožja upravnih iz prve Brokarove tačke, a P ′ , R ′ , Q ′podnožja upravnih iz druge Brokarove tačke na stranicama BC, CA, AB trouglaABC, dokazati da je △P QR ∼ △R ′ P ′ Q ′ .9.14. Brokarov krug trouglaDefinicija 9.14. Krug kome je prečnik duž odre - dena središtem opisanog krugai Lemoanovom tačkom trougla nazivamo Brokarovim krugom tog trougla. Izove definicije neposredno sleduje da su Brokarov krug i prvi Lemoanov krugkoncentrični. Simetrale stranica BC, CA, AB seku Brokarov krug trougla ABCu tački O, središtu opisanog kruga, i u tačkama A 1 , B 1 , C 1 koje obrazuju prviBrokarov trougao A 1 B 1 C 1 datog trougla ABC. Prave koje sadrže simedijaneiz temena A, B, C seku Brokarov krug trougla ABC u Lemoanovoj tački L,i u tačkama A 2 , B 2 , C 2 koje odre - duju drugi Brokarov trougao A 2 B 2 C 2 datogtrougla ABC.80