postavka zadataka u pdf formatu - 663KB - Alas

754. Dokazati da se simedijane AA ′′ , BB ′′ , CC ′′ trougla ABC seku u jednojtački simedijalnoj ili Lemoanovoj tački trougla ABC.755. Ako je L Lemoanova tačka trougla ABC, tj. tačka u kojoj se seku simedijaneAA ′′ , BB ′′ , CC ′′ , dokazati da jeAL : LA ′′ = (AB 2 + AC 2 ) : BC 2756. Dokazati da su odstojanja Lemoanove tačke trougla od pravih koje suodre - dene stranicama tog trougla srazmerne njegovim odgovarajućim stranicama.757. Ako su odstojanja tačke L od pravih koje su odre - dene stranicama trouglaABC srazmerna odgovarajućim stranicama, dokazati da je L Lemoanova tačkatog trougla.758. Ako su P , Q, R tačke u kojima upisani krug dodiruje stranice BC, CA,AB trougla ABC, dokazati da je Žergonova tačka G trougla ABC Lemoanovatačka trougla P QR.759. Dokazati da se Lemoanova tačka pravouglog trougla poklapa sa središtemvisine koja odgovara hipotenuzi tog trougla.760. Ako su P , Q, R podnožja upravnih iz Lemoanove tačke L na stranicamaBC, CA, AB trougla ABC, dokazati da je tačka L težište trougla P QR.761. Dokazati da je Lemoanova tačka L trougla ABC pol Lemoanove praves(v.3...) u odnosu na opisani krug tog trougla.762. Ako je L Lemoanova tačka i O središte opisanog kruga trougla ABC,dokazati da je prava OL upravna na Lemoanovoj pravoj s tog trougla.763. Ako su AA ′ i AA ′′ medijana i simedijana iz temena A trougla ABC. Akosu Q i R podnožja upravnih iz proizvoljne tačke P medijane AA ′ na stranicamaAB i AC, dokazati da je QR ⊥ AA ′ , i obrnuto, ako su Q ′ i R ′ podnožja upravnihiz proizvoljne tačke P ′ simedijane AA ′′ na stranicama AB i AC, dokazati da jeQ ′ R ′ ⊥ AA ′ . Najzad, dokazati da je P QR ∼ P ′ R ′ Q ′ .764. Ako simedijana AA ′ koja odgovara temenu A trougla ABC sadrži središteduži MN kojoj su krajevi na stranicama AB i AC, dokazati da je četvorougaoBCMN tetivan.765. Ako su M i N tačke stranica AB i AC trougla ABC takve da je četvorougaoBCNM tetivan, dokazati da se središte K duži MN nalazi na simedijani kojaodgovara temenu A trougla ABC.766. Neka su P i Q tačke stranica AB i BC, a R i S tačke stranica AC iBC takve da su četvorouglovi AP QC i ARSB tetivni. Ako su pri tome dužiP Q i RS jednake, dokazati da se prave P Q i RS seku na pravoj koja sadržisimedijanu iz temena A trougla ABC, ili su uporedne s tom pravom.767. Ako su P i Q tačke stranica AB i BC, a R i S tačke stranica AC i BCtakve da su četvorouglovi AP QC i ARSB tetivni. Ako se pri tome prave P Q iRS seku na pravoj, koja sadrži simedijanu iz temena A trougla ABC. Dokazatida je P Q = RS.9.10. Lemoanovi krugovi trougla78