postavka zadataka u pdf formatu - 663KB - Alas

743. Ako su m i n dve izogonalne prave u odnosu na ugao ∠P OQ, a A iB podnožja upravnih iz proizvoljne tačke M prave m na pravama OP i OQ,dokazati da je n ⊥ AB.744. Ako su M i N proizvoljne tačke dveju pravih izogonalnih u odnosu naugao ∠P OQ, dokazati da su odstojanja tačke M od pravih OP i OQ obrnutoproporcionalna odstojanjima tačke N od pravih OP i OQ.745. Ako su M i N tačke u ravni ugla P OQ takve da su odstojanja tačke M odpravih OP i OQ obrnuto proporcionalna odstojanjima tačke N od pravih OP iOQ, dokazati da su prave OM i ON izogonalne u odnosu na ugao ∠P OQ.746. Ako su M i N proizvoljne tačke dveju pravih koje su izogonalne u odnosuna ugao ∠P OQ, dokazati da podnožja upravnih iz tačaka M i N na pravamaOP i OQ pripadaju jednom krugu, kome se središte poklapa sa središtem dužiMN.747. Ako je O proizvoljna tačka u ravni trougla ABC, dokazati da se praveizogonalne s pravama OA, OB, OC respektivno u odnosu na A, B, C, seku ujednoj tački O ′ , ili su me - du sobom uporedne. Tačke O i O ′ nazivamo izogonalnospregnutim ili samo izogonalnim u odnosu na trougao ABC.748. Ako su O i O ′ dve tačke izogonalne u odnosu na trougao ABC, dokazati dapodnožja upravnih iz tačaka O i O ′ na pravama BC, CA, AB pripadaju jednomkrugu, kome se središte poklapa sa središtem duzi OO ′ . Taj krug nazivamopedalnim krugom dveju tačaka izogonalnih u odnosu na trougao ABC.749. Ako neki krug k seče stranice BC, CA, AB trougla ABC u tačkama P iP ′ , Q i Q ′ , R i R ′ , pri čemu se normale u tačkama P , Q, R na stranicama BC,CA, AB seku u jednoj tački O, dokazati da se i normale u tačkama P ′ , Q ′ , R ′tako - de seku u jednoj tački O ′ , zatim da su tačke O i O ′ izogonalne u odnosu natrougao ABC.750. Ako su O i O ′ dve tačke izogonalne u odnosu na trougao ABC, a A ′ , B ′ ,C ′ , tačke simetrične s tačkom O u odnosu na prave BC, CA, AB, dokazati daje tačka O ′ središte kruga opisanog oko trougla A ′ B ′ C ′ .9.9. Lemoanova tačka i Lemoanova prava trouglaDefinicija 9.9. Ako je duž AA ′ medijana iz temena A trougla ABC, a A ′′ tačkau kojoj prava simetrična s pravom AA ′ u odnosu na simetralu unutrašnjeg ugla∠A seče stranicu BC, kažemo da je duž AA ′′ unutrašnja simedijana ili samosimedijana iz temena A trougla ABC. Ako je T tačka u kojoj dirka kroz tačkuA kruga opisanog oko trougla ABC seče pravu BC, kažemo da je duž ATspoljašnja simedijana iz temena A trougla ABC. Specijalno, ako je ugao ∠Atrougla ABC prav, simedijana iz temena A poklapa se s visinom iz tog istogtemena.751. Dokazati da prava odre - dena simedijanom AA ′′ trougla ABC sadrži polA 0 prave BC u odnosu na krug opisan oko trougla ABC.752. Ako su AA ′′ i AT unutrašnja i spoljašnja simedijana trougla ABC,dokazati da su prave AA ′′ i AT harmonijski spregnute s pravama AB i AC.753. Ako je AA ′′ simedijana iz temena A trougla ABC, dokazati da jeBA ′′ : A ′′ C = AB 2 : AC 2 .77