postavka zadataka u pdf formatu - 663KB - Alas

9.7. Furmanov krug trouglaDefinicija 9.7. Krug kome je prečnik duž odre - dena ortocentrom H i Nagelovomtačkom N trougla ABC nazivamo Furmanovim krugom trougla ABC.736. Ako su X, Y , Z tačke u kojima simetrale unutrašnjih uglova A, B, C sekuopisani krug trougla ABC, dokazati da se tačke X ′ , Y ′ , Z ′ simetrične s tačkamaX, Y , Z u odnosu na prave BC, CA, AB nalaze na Furmanovom krugu trouglaABC.737. Ako su X, Y , Z tačke u kojima simetrale unutrašnjih uglova A, B, Cseku opisani krug trougla ABC, a X ′ , Y ′ , Z ′ njima simetrične tačke u odnosuna prave BC, CA, AB, dokazati da su trouglovi XY Z i X ′ Y ′ Z ′ inverzno slični.738. Dokazati da Furmanov krug trougla ABC seče prave odre - dene visinamaAA ′ , BB ′ , CC ′ u tačkama A ′′ , B ′′ , C ′′ takvim da je AA ′′ = BB ′′ = CC ′′ = 2ϱ,gde je ϱ poluprečnik upisanog kruga tog trougla.739. Ako su A ′′ , B ′′ , C ′′ tačke u kojima Furmanov krug seče prave odre - denevisinama AA ′ , BB ′ , CC ′ trougla ABC, dokazati da su trouglovi ABC i A ′′ B ′′ C ′′inverzno slični.9.7. Izometričke tačke u odnosu na duž i na trougaoDefinicija 9.7. Dve tačke P i P ′ prave koja sadrži neku duž AB, simetričneme - du sobom u odnosu na središte O te duži nazivamo izotomički spregnutim ilisamo izotomičkim tačkama u odnosu na tu duž.740. Ako su P , Q, R tačke pravih koje su odre - dene stranicama BC, CA,AB trougla ABC, a P ′ , Q ′ , R ′ njima izometrički spregnute tačke u odnosu naodgovarajuće stranice tog trougla, i ako se pri tome prave AP , BQ, CR sekuu jednoj tački O, dokazati da se i prave AP ′ , BQ ′ , CR ′ tako - de seku u nekojtački O ′ . Tačke O i O ′ nazivamo izotomički spregnutim, ili samo izotomičkim uodnosu na trougao ABC.741. Ako su P , Q, R tačke u kojima neka prava seče prave odre - dene stranicamaBC, CA, AB trougla ABC, dokazati da i njima izotomički spregnute tačke uodnosu na odgovarajuće stranice tako - de pripadaju jednoj pravoj.742. Prave kroz temena trougla ABC uporedne s naspramnim stranicamaodreduju - izvestan trougao A ′ B ′ C ′ . Ako je K ′ središte kruga upisanog u trougaoA ′ B ′ C ′ , a K tačka izotomički spregnuta s tačkom K ′ u odnosu na trougaoA ′ B ′ C ′ , dokazati da trougao ABC odseca na pravama, koje sadrže tačku K, auporedne su sa stranicama tog trougla, jednake odsečke.9.8. Izogonalne prave u odnosu na ugao. Izogonalne tačke uodnosu na trougao.Definicija 9.8. Dve prave kroz teme nekog ugla simetrične me - du sobom u odnosuna simetralu tog ugla nazivamo izogonalno spregnutim pravama, ili samo izogonalnimpravama u odnosu na taj ugao. Tako je npr. prava koja sadrži visinuAA 1 trougla ABC izogonalna s pravom koja sadrži poluprečnik OA opisanogkruga tog trougla u odnosu na ugao ∠A. Simetrala jednog ugla izogonalna jesamoj sebi u odnosu na taj ugao.76