postavka zadataka u pdf formatu - 663KB - Alas
postavka zadataka u pdf formatu - 663KB - Alas postavka zadataka u pdf formatu - 663KB - Alas
9.3. Ojlerova prava trougla i četvorouglaDefinicija 9.2. Pravu koja je odre - dena središtem opisanog kruga i ortocentromtrougla nazivamo Ojlerovom pravom tog trougla.715. Dokazati da se težište T trougla ABC nalazi na Ojlerovoj pravoj togtrougla, tj. pravoj koja je odre - dena ortocentrom H i središtem O opisanogkruga tog trougla, pri čemu HT : T O = 2 : 1.716. Ako su A 1 , B 1 , C 1 središta stranica BC, CA, AB trougla ABC, dokazatida se Ojlerova prava trougla A 1 B 1 C 1 poklapa sa Ojlerovom pravom trouglaABC.717. Ako je O središte i r poluprečnik opisanog kruga, a S središte i ϱ poluprečnikupisanog kruga trougla ABC, zatim P , Q, R tačke u kojima upisani krugdodiruje stranice BC, CA, AB i H ′ ortocentar trougla P QR, dokazati da tačkeO, S, H ′ pripadaju jednoj pravoj, Ojlerovoj pravoj trougla P QR, pri čemu jetačka H ′ iza S u odnosu na O takva da je OS : SH ′ = r : ϱ.718. Dokazati da se prave kroz središta stranica tetivnog četvorougla upravnena pravama koje su odre - dene naspramnim stranicama seku u jednoj tački kojaje simetrična sa središtem opisanog kruga u odnosu na težište tog četvorougla.Tu tačku nazivamo Kantorovom tačkom ili ortotežištem tetivnog četvorougla.719. Neka je A 1 A 2 A 3 A 4 četvorougao upisan u krug l(O, r). Ako su H ij tačkesimetrične sa tačkom O u odnosu na prave A k A l za različite vrednosti indeksai, j, k, l = 1, 2, 3, 4, dokazati da se prave h ij kroz tačke H ij upravne na pravamaA i A j seku u jednoj tački, ortocentru H tog četvorougla, pri čemu je tačka Hna Ojlerovoj pravoj OT tog četvorougla takva da je HT : T O = 3 : 1.720. Ako je H ortocentar četvorougla A 1 A 2 A 3 A 4 upisanog u krug l(O, r),dokazati da su ortocentri H 1 , H 2 , H 3 , H 4 trouglova A 2 A 3 A 4 , A 3 A 4 A 1 , A 4 A 1 A 2 ,A 1 A 2 A 3 simetrični sa temenima A 1 , A 2 , A 3 , A 4 u odnosu na središte S duži OH,i prema tome da tačke H 1 , H 2 , H 3 , H 4 pripadaju krugu l ′ (H, r) koji je simetričansa krugom l u odnosu na tačku S. Tačku S nazivamo središtem ili centrom,a pravu s koja je u tački S upravna na pravoj OH nazivamo središnom ilicentralnom pravom tog četvorougla.721. Dokazati da se središte S tetivnog četvorougla A 1 A 2 A 3 A 4 sa upravnimdijagonalama A 1 A 3 i A 2 A 4 poklapa sa presekom dijagonala tog četvorougla.9.4. Ojlerov krug trougla i četvorougla722. Dokazati da se središta stranica, podnožja visina i središta duži kojespajaju ortocentar sa temenima bilo kojeg trougla pripadaju jednom krugu,Ojlerovom krugu tog trougla.723. Dokazati da se središte Ojlerovog kruga bilo kojeg trougla poklapa sasredištem duži koja spaja ortocentar sa središtem opisanog kruga tog trougla,zatim da je poluprečnik tog kruga jednak polovini poluprečnika opisanog kruga.724. Ako su S a , S b , S c središta spolja upisanih krugova trougla ABC, dokazatida je opisani krug trougla ABC Ojlerov krug trougla S a S b S c .725. Ako je H ortocentar, T težište, O središte opisanog kruga i O ′ središteOjlerovog kruga trougla ABC, dokazati da su tačke T i H harmonijski spregnutesa tačkama O i O ′ .74
726. Ako je H ortocentar i T težište trougla ABC, a l opisani krug i l ′ Ojlerovkrug tog trougla. Dokazati da je tačka T unutrašnje, a tačka H spoljašnjesredište sličnosti krugova l i l ′ .727. Ako su A ′ , B ′ , C ′ središta stranica BC, CA, AB i S, S a , S b , S c središtaupisanih krugova trougla ABC, dokazati da se središta Ojlerovih krugova trouglovaSBC i S a BC nalaze na simetrali unutrašnjeg ugla A ′ , a središta Ojlerovihkrugova trougla S b BC i S c BC na simetrali spoljašnjeg ugla A ′ trougla A ′ B ′ C ′ .728. Ako je H ortocentar, O ′ središte Ojlerovog kruga i r poluprečnik opisanogkruga trougla ABC, dokazati da jeO ′ A 2 + O ′ B 2 + O ′ C 2 + O ′ H 2 = 3r 2 .729. Ako su a, b, c stranice trougla ABC, a p(M) potencija tačke M u odnosuna Ojlerov krug tog trougla, dokazati da jep(A) + p(B) + p(C) = a2 + b 2 + c 2.4730. Ako su H i S ortocentar i središte četvorougla A 1 A 2 A 3 A 4 upisanog ukrug (O, r), dokazati da središta S 1 , S 2 , S 3 , S 4 duži koje spajaju tačku O saortocentrima H 1 , H 2 , H 3 , H 4 trouglova A 2 A 3 A 4 , A 3 A 4 A 1 , A 4 A 1 A 2 , A 1 A 2 A 3 ,podnožja B 1 , B 2 , B 3 , B 4 upravnih iz temena A 1 , A 2 , A 3 , A 4 središnjim pravamatih trouglova i središta C 1 , C 2 , C 3 , C 4 duži HA 1 , HA 2 , HA 3 , HA 4 pripadajukrugu k(S, r 2 ), Ojlerovom krugu tetivnog četvorougla A 1A 2 A 3 A 4 .9.5. Nagelova tačka trouglaAko su P a , Q b , R c tačke u kojima spolja upisani krugovi dodiruju straniceBC, CA, AB trougla ABC, tada se, prema zadatku ..., duži AP a , BQ b , CR cseku u jednoj tački koju nazivamo Nagelovom tačkom trougla.731. Ako su A ′ , B ′ , C ′ središta stranica BC, CA, AB trougla ABC, dokazatida je središte kruga upisanog u trougao ABC Nagelova tačka trougla A ′ B ′ C ′ .732. Dokazati da Nagelova tačka N, težište T i središte S upisanog krugatrougla ABC pripadaju jednoj pravoj, pri čemu je tačka T izme - du tačaka N iS takva da je NT : T S = 2 : 1.733. Ako je O središte opisanog kruga, S središte upisanog kruga, H ortocentari N Nagelova tačka trougla ABC, dokazati da je HN‖OS i HN = 2OS.9.6. Spikerov krug trouglaDefinicija 9.6. Krug opisan u medijalni trougao A 1 B 1 C 1 trougla ABC nazivamoSpikerovim krugom trougla ABC.734. Dokazati da se središte Spikerovog kruga trougla ABC poklapa sa središtemduži koja spaja središte S upisanog kruga s Nagelovom tačkom N tog trougla.735. Ako je S središte upisanog kruga k, S 1 središte Spikerovog kruga k 1 , Ttežište i N Nagelova tačka trougla ABC, dokazati da su tačke T i N harmonijskispregnute s tačkama S i S 1 , zatim da su tačke T i N središta sličnosti krugovak i k 1 .75
- Page 23 and 24: (a)(b)(v)h 3 a = amn;a 2 = m 2 + n
- Page 25 and 26: (b)(c)(d)AP a · P a P ′ a = 2ϱ
- Page 27 and 28: (a)(b)ϱ · ϱ a = (p − b) · (p
- Page 29 and 30: 270. Ako su S, S a , S b , S c sred
- Page 31 and 32: 4. KARAKTERISTIČNE TEOREME I NJIHO
- Page 33 and 34: 299. Ako su r i ϱ a poluprečnik o
- Page 35 and 36: ;;.(a)(b)(v)HS 2 = 4r 2 + 4rϱ + 3
- Page 37 and 38: 332. Neka su A ′ , B ′ , C ′
- Page 39 and 40: 4.6. Dezargova teorema i njena prim
- Page 41 and 42: 375. Ako je N Nagelova tačka troug
- Page 43 and 44: 394. (L. Euler) Ako su P i Q sredi
- Page 45 and 46: 408. Ako su A, B, C, D kolinearne t
- Page 47 and 48: 426. Ako neka prava p ′ seče če
- Page 49 and 50: 446. Ako su A, B, C, D, E, F razne
- Page 51 and 52: 463. Ako obeležimo sa S proizvoljn
- Page 53 and 54: 481. Ako je P proizvoljna tačka ko
- Page 55 and 56: 6.4. Polarni i ortogonalni krugovi.
- Page 57 and 58: 534. Dokazati da je bilo koje sredi
- Page 59 and 60: 561. Ako su S a , S b , S c središ
- Page 61 and 62: u jednoj tački ili su medu - sobom
- Page 63 and 64: 601. Ako je l krug koji pripada pra
- Page 65 and 66: 7. INVERZIJA7.1. Inverzne tačkeDef
- Page 67 and 68: 647. Dokazati da se središte kruga
- Page 69 and 70: 8. INVOLUCIJADefinicija 8.1. Jednoz
- Page 71 and 72: krugove tog pramena krugova, dokaza
- Page 73: 703. Ako je O središte kruga opisa
- Page 77 and 78: 743. Ako su m i n dve izogonalne pr
- Page 79 and 80: 768. Dokazati da prave kroz Lemoano
- Page 81 and 82: 788. Dokazati da se Brokarove tačk
- Page 83 and 84: 812. Dokazati da se ortopol prave k
- Page 85 and 86: 820. Ako su P i Q težišta dvaju k
- Page 87 and 88: (a)(b)(v)i=1n∑HA 2 i = n · (n
- Page 89 and 90: 852. Ako je A 1 . . . A 2n pravilan
- Page 91 and 92: 868. Ako je a 8 stranica pravilnog
- Page 93 and 94: 11. RAZLAGANJE POVRŠI I ODRE-DIVAN
- Page 95 and 96: presek O tih pravih sa središtima
- Page 97 and 98: c.S 2 = ϱϱ a ϱ b ϱ c917. Ako su
- Page 99 and 100: a.b.OA ′AA ′ + OB′BB ′ + OC
- Page 101 and 102: (b)S(P QR) = m2 − mn + n 2(m + n)
- Page 103 and 104: k i (i = a, b, c) sa pravama BC, CA
- Page 105 and 106: 988. Dokazati da je kod svakog trou
- Page 107 and 108: 1008. Dat je konveksan ugao MON i u
- Page 109 and 110: (g)(d)(j)ab + bc + ca ≤ 4(r + ϱ)
- Page 111 and 112: (a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)abc ≤ 827 p3
- Page 113 and 114: (c)(d)l 2 a + l 2 b + l 2 c ≤ 3(2
- Page 115 and 116: (a)(b)AB + CD ≥ 2rAB · CD ≤ 2(
- Page 117 and 118: (a)(b)SA + SB + SC ≥ 6ϱSA · SB
- Page 119 and 120: (a)(b)(v)(g)S ≤ 1 2 (a2 − ab +
- Page 121 and 122: 1078. Ako su a, b, c, d duži jedna
- Page 123 and 124: 1104. Svaki ravan lik ω dijametra
726. Ako je H ortocentar i T težište trougla ABC, a l opisani krug i l ′ Ojlerovkrug tog trougla. Dokazati da je tačka T unutrašnje, a tačka H spoljašnjesredište sličnosti krugova l i l ′ .727. Ako su A ′ , B ′ , C ′ središta stranica BC, CA, AB i S, S a , S b , S c središtaupisanih krugova trougla ABC, dokazati da se središta Ojlerovih krugova trouglovaSBC i S a BC nalaze na simetrali unutrašnjeg ugla A ′ , a središta Ojlerovihkrugova trougla S b BC i S c BC na simetrali spoljašnjeg ugla A ′ trougla A ′ B ′ C ′ .728. Ako je H ortocentar, O ′ središte Ojlerovog kruga i r poluprečnik opisanogkruga trougla ABC, dokazati da jeO ′ A 2 + O ′ B 2 + O ′ C 2 + O ′ H 2 = 3r 2 .729. Ako su a, b, c stranice trougla ABC, a p(M) potencija tačke M u odnosuna Ojlerov krug tog trougla, dokazati da jep(A) + p(B) + p(C) = a2 + b 2 + c 2.4730. Ako su H i S ortocentar i središte četvorougla A 1 A 2 A 3 A 4 upisanog ukrug (O, r), dokazati da središta S 1 , S 2 , S 3 , S 4 duži koje spajaju tačku O saortocentrima H 1 , H 2 , H 3 , H 4 trouglova A 2 A 3 A 4 , A 3 A 4 A 1 , A 4 A 1 A 2 , A 1 A 2 A 3 ,podnožja B 1 , B 2 , B 3 , B 4 upravnih iz temena A 1 , A 2 , A 3 , A 4 središnjim pravamatih trouglova i središta C 1 , C 2 , C 3 , C 4 duži HA 1 , HA 2 , HA 3 , HA 4 pripadajukrugu k(S, r 2 ), Ojlerovom krugu tetivnog četvorougla A 1A 2 A 3 A 4 .9.5. Nagelova tačka trouglaAko su P a , Q b , R c tačke u kojima spolja upisani krugovi dodiruju straniceBC, CA, AB trougla ABC, tada se, prema zadatku ..., duži AP a , BQ b , CR cseku u jednoj tački koju nazivamo Nagelovom tačkom trougla.731. Ako su A ′ , B ′ , C ′ središta stranica BC, CA, AB trougla ABC, dokazatida je središte kruga upisanog u trougao ABC Nagelova tačka trougla A ′ B ′ C ′ .732. Dokazati da Nagelova tačka N, težište T i središte S upisanog krugatrougla ABC pripadaju jednoj pravoj, pri čemu je tačka T izme - du tačaka N iS takva da je NT : T S = 2 : 1.733. Ako je O središte opisanog kruga, S središte upisanog kruga, H ortocentari N Nagelova tačka trougla ABC, dokazati da je HN‖OS i HN = 2OS.9.6. Spikerov krug trouglaDefinicija 9.6. Krug opisan u medijalni trougao A 1 B 1 C 1 trougla ABC nazivamoSpikerovim krugom trougla ABC.734. Dokazati da se središte Spikerovog kruga trougla ABC poklapa sa središtemduži koja spaja središte S upisanog kruga s Nagelovom tačkom N tog trougla.735. Ako je S središte upisanog kruga k, S 1 središte Spikerovog kruga k 1 , Ttežište i N Nagelova tačka trougla ABC, dokazati da su tačke T i N harmonijskispregnute s tačkama S i S 1 , zatim da su tačke T i N središta sličnosti krugovak i k 1 .75
Change language