postavka zadataka u pdf formatu - 663KB - Alas

9.3. Ojlerova prava trougla i četvorouglaDefinicija 9.2. Pravu koja je odre - dena središtem opisanog kruga i ortocentromtrougla nazivamo Ojlerovom pravom tog trougla.715. Dokazati da se težište T trougla ABC nalazi na Ojlerovoj pravoj togtrougla, tj. pravoj koja je odre - dena ortocentrom H i središtem O opisanogkruga tog trougla, pri čemu HT : T O = 2 : 1.716. Ako su A 1 , B 1 , C 1 središta stranica BC, CA, AB trougla ABC, dokazatida se Ojlerova prava trougla A 1 B 1 C 1 poklapa sa Ojlerovom pravom trouglaABC.717. Ako je O središte i r poluprečnik opisanog kruga, a S središte i ϱ poluprečnikupisanog kruga trougla ABC, zatim P , Q, R tačke u kojima upisani krugdodiruje stranice BC, CA, AB i H ′ ortocentar trougla P QR, dokazati da tačkeO, S, H ′ pripadaju jednoj pravoj, Ojlerovoj pravoj trougla P QR, pri čemu jetačka H ′ iza S u odnosu na O takva da je OS : SH ′ = r : ϱ.718. Dokazati da se prave kroz središta stranica tetivnog četvorougla upravnena pravama koje su odre - dene naspramnim stranicama seku u jednoj tački kojaje simetrična sa središtem opisanog kruga u odnosu na težište tog četvorougla.Tu tačku nazivamo Kantorovom tačkom ili ortotežištem tetivnog četvorougla.719. Neka je A 1 A 2 A 3 A 4 četvorougao upisan u krug l(O, r). Ako su H ij tačkesimetrične sa tačkom O u odnosu na prave A k A l za različite vrednosti indeksai, j, k, l = 1, 2, 3, 4, dokazati da se prave h ij kroz tačke H ij upravne na pravamaA i A j seku u jednoj tački, ortocentru H tog četvorougla, pri čemu je tačka Hna Ojlerovoj pravoj OT tog četvorougla takva da je HT : T O = 3 : 1.720. Ako je H ortocentar četvorougla A 1 A 2 A 3 A 4 upisanog u krug l(O, r),dokazati da su ortocentri H 1 , H 2 , H 3 , H 4 trouglova A 2 A 3 A 4 , A 3 A 4 A 1 , A 4 A 1 A 2 ,A 1 A 2 A 3 simetrični sa temenima A 1 , A 2 , A 3 , A 4 u odnosu na središte S duži OH,i prema tome da tačke H 1 , H 2 , H 3 , H 4 pripadaju krugu l ′ (H, r) koji je simetričansa krugom l u odnosu na tačku S. Tačku S nazivamo središtem ili centrom,a pravu s koja je u tački S upravna na pravoj OH nazivamo središnom ilicentralnom pravom tog četvorougla.721. Dokazati da se središte S tetivnog četvorougla A 1 A 2 A 3 A 4 sa upravnimdijagonalama A 1 A 3 i A 2 A 4 poklapa sa presekom dijagonala tog četvorougla.9.4. Ojlerov krug trougla i četvorougla722. Dokazati da se središta stranica, podnožja visina i središta duži kojespajaju ortocentar sa temenima bilo kojeg trougla pripadaju jednom krugu,Ojlerovom krugu tog trougla.723. Dokazati da se središte Ojlerovog kruga bilo kojeg trougla poklapa sasredištem duži koja spaja ortocentar sa središtem opisanog kruga tog trougla,zatim da je poluprečnik tog kruga jednak polovini poluprečnika opisanog kruga.724. Ako su S a , S b , S c središta spolja upisanih krugova trougla ABC, dokazatida je opisani krug trougla ABC Ojlerov krug trougla S a S b S c .725. Ako je H ortocentar, T težište, O središte opisanog kruga i O ′ središteOjlerovog kruga trougla ABC, dokazati da su tačke T i H harmonijski spregnutesa tačkama O i O ′ .74