postavka zadataka u pdf formatu - 663KB - Alas

9. ZNAČAJNE TAČKE I LINIJE U GEOMETRIJI TROUGLAI ČETVOROUGLAU geometriji trougla i četvorougla već smo upoznali niz značajnih tačakai linija kao što su u geometriji trougla: težište, ortocentar, središte opisanogkruga, središta upisanih krugova, Žergonova tačka, Nagelova tačka, Fojerbahovatačka, upisani krugovi, opisani krug, polarni krug itd, a u geometriji četvorougla:težište, Gausova prava, Oberova prava itd. U ovom članu upoznaćemo još nekeznačajne tačke i linije u geometriji trougla i četvorougla.9.1 Simsonova prava trougla i četvorougla694. Dokazati da podnožja upravnih iz bilo koje tačke P kruga opisanog okobilo kojeg trougla ABC na pravama koje su odre - dene stranicama tog trougla,pripadaju jednoj pravoj koju nazivamo Simsonovom pravom tačke P u odnosuna trougao ABC.695. Ako se podnožje upravnih iz neke tačke P na pravama koje su odre - denestranicama jednog trougla nalaze na jednoj pravoj, dokazati da je ta tačka Pna krugu koji je opisan oko tog trougla.696. Ako su AA ′ , BB ′ , CC ′ visine trougla ABC, dokazati da podnožja P , Q,R, S upravnih iz tačka A ′ na pravama AB, AC, BB ′ , CC ′ pripadaju jednojpravoj.697. Ako tri razne tetive istog kruga imaju jedan zajednički kraj, dokazati dase krugovi kojima su te tetive prečnici seku u tačkama koje pripadaju jednojpravoj (Salmonova teorema).698. Ako se tri kruga s prečnicima P A, P B, P C seku u tačkama koje pripadajujednoj pravoj, dokazati da je tačka P na krugu koji je opisan oko trougla ABC.699. Ako upravne iz proizvoljne tačke P kruga opisanog oko trougla ABC napravama BC, CA, AB seku krug još u tačkama A ′′ , B ′′ , C ′′ , dokazati da suprave AA ′′ , BB ′′ , CC ′′ uporedne sa Simsonovom pravom tačke P u odnosu natrougao ABC.700. Ako su A ′′ , B ′′ , C ′′ tačke kruga opisanog oko trougla ABC takve daje AA ′′ , BB ′′ , CC ′′ , dokazati da se prave kroz tačke A ′′ , B ′′ , C ′′ upravne napravama BC, CA, AB seku u izvesnoj tački P koja se nalazi na krugu, zatim dase podnožja A ′ , B ′ , C ′ tih normala nalaze na jednoj pravoj, Simsonovoj pravojtačke P u odnosu na trougao ABC.701. Dokazati da Simsonova prava tačke P u odnosu na trougao ABC sadržisredište duži koja spaja tu tačku P sa ortocentrom H trougla ABC.702. Ako tri trougla ABC, A ′ B ′ C ′ , A ′′ B ′′ C ′′ upisana u isto krugu k imajuzajedničko težište, dokazati da se Simsonove prave proizvoljne tačke M kruga ku odnosu na te trouglove seku u jednoj tački.72