postavka zadataka u pdf formatu - 663KB - Alas

Iz ove definicije neposredno sleduje da je i lik ω inverzan s likom ω ′ u odnosuna krug k, pa se kaže da su likovi ω i ω ′ inverzni me - du sobom u odnosu na krugk.633. Ako su M i M ′ inverzne tačke u odnosu na krug k koji je opisan okotrougla ABC, a P , Q, R i P ′ , Q ′ , R ′ podnožja upravnih iz tačaka M i M ′ napravama BC, CA, AB, dokazati da su trouglovi P QR i P ′ Q ′ R ′ slični.634. Ako su M i M ′ dve tačke u ravni trougla ABC, a P , Q, R i P ′ , Q ′ , R ′ ,podnožja upravnih iz tačaka M i M ′ na pravama BC, CA, AB pri čemu sutrouglovi P QR i P ′ Q ′ R ′ slični, dokazati da su tačke M i M ′ inverzne u odnosuna krug k koji je opisan oko trougla ABC.635. Dokazati da su granične tačke hiperboličkog pramena krugova inverzne uodnosu na svaki krug tog pramena krugova.636. Ako su dve tačke P i P ′ inverzne me - du sobom u odnosu na krugovek 1 , . . . , k n , dokazati da pomenuti krugovi pripadaju jednom pramenu.637. Ako su A i B dve proizvoljne tačke u ravni kruga k(O, r), a A ′ i B ′ njimainverzne tačke u odnosu na krug k, dokazati da jeA ′ B ′ = AB ·r 2OA · OB .638. Ako su A, B, C, D četiri tačke neke prave p i A ′ , B ′ C ′ , D ′ njima inverznetačke u odnosu na neki krug kome se središte nalazi na pravoj p, dokazati da jeR(A, B; C, D) = R(A ′ , B ′ ; C ′ , D ′ ).639. Ako su O, A, B, C tačke neke prave p, pri čemu je B središte duži AC,a A ′ , B ′ , C ′ tačke inverzne s tačkama A, B, C u odnosu na bilo koji krug sasredištem O, dokazati da su tačke H(O, A ′ , B ′ , C ′ ) harmonijske.640. Neka su k 1 , . . . , k n krugovi nekog pramena krugova. Ako je A proizvoljnatačka van središnje prave tog pramena, A 1 tačka inverzna sa tačkom A u odnosuna krug k 1 , A 2 tačka inverzna sa tačkom A 1 u odnosu na krug k 2 , itd, dokazatida tačke A, A 1 , . . . , A n pripadaju jednom krugu koji je ortogonalan na svimkrugovima pomenutog pramena krugova.641. Dokazati da je inverzan lik prave l u odnosu na krug k tako - de prava ilikrug, prema tome da li prava l sadrži ili ne sadrži središte kruga k.642. Dokazati da je inverzni lik kruga l u odnosu na neki krug k, prava ili krug,prema tome da li krug l sadrži ili ne sadrži središte kruga k.643. Ako je krug l ortogonalan na krug k, dokazati da je krug l inverzan samomsebi u odnosu na krug k, i obrnuto, ako je krug l inverzan samom sebi u odnosuna krug k, dokazati da su krugovi l i k me - du sobom ortogonalni.644. Ako su krug l i prava p inverzni likovi u odnosu na krug k, dokazati da jeprava p radikalna osa krugova l i k.645. Ako su l i l ′ inverzni krugovi u odnosu na krug k, dokazati da krugovi k,l, l ′ pripadaju jednom pramenu.646. Dokazati da opisani krug l 1 , Ojlerov krug l 2 , polarni krug l 3 trougla ABCi krug l 4 opisan oko njegovog potencijalnog trougla A 1 B 1 C 1 pripadaju jednompramenu.66