postavka zadataka u pdf formatu - 663KB - Alas
postavka zadataka u pdf formatu - 663KB - Alas postavka zadataka u pdf formatu - 663KB - Alas
617. Ako su AA ′ , BB ′ , CC ′ visine trougla ABC, a P proizvoljna tačka njegoveravni, dokazati da krugovi k 1 , k 2 , k 3 opisani oko trouglova △P AA ′ , △P BB ′ , △P CC ′pripadaju izvesnom pramen krugova.618. Dve prave l i l ′ kroz zajedničku tačku P svih krugova eliptičkog pramenaseku tri kruga tog pramena u tačkama A, B, C i A ′ , B ′ , C ′ . Dokazati da je:AB : BC = A ′ B ′ : B ′ C ′ .619. Ako su O 1 , O 2 , O 3 središta i r 1 , r 2 , r 3 poluprečnici triju krugova istogpramena, dokazati da je:r 2 1 · O 2 O 3 + r 2 2 · O 3 O 1 + r 2 3 · O 1 O 2 + O 1 O 2 · O 2 O 3 · O 3 O 1 = 0.620. Ako su O 1 , O 2 , O 3 središta krugova k 1 , k 2 , k 3 nekog pramena, a d 1 , d 2 , d 3odsečci na dirkama krugova k 1 , k 2 , k 3 kroz proizvoljnu tačku P koja se nalaziizvan njih, dokazati da je:d 2 1 · O 2 O 3 + d 2 2 · O 3 O 1 + d 2 3 · O 1 O 2 = 0.64
7. INVERZIJA7.1. Inverzne tačkeDefinicija 7.1. Ako je P proizvoljna tačka ravni nekog kruga k(O, r) i P ′ tačkapoluprave OP takva da je OP · OP ′ = r 2 , tada kažemo da je tačka P ′ inverznasa tačkom P u odnosu na krug k. Iz definicije neposredno sledi da je i tačkaP inverzna sa tačkom P ′ u odnosu na isti krug k. Stoga se tako - de kaže da sutačke P i P ′ me - dusobno inverzne u odnosu na krug k. Krug k nazivom krugominverzije, tačku O središtem inverzije, a duž r poluprečnikom inverzije.621. Dokazati da je svaki krug koji sadrži par tačaka P , P ′ inverznih u odnosuna neki krug k, ortogonalan na krugu k.622. Ako su l i k dva ortogonalna kruga, dokazati da su tačke u kojimaproizvoljna prava kroz središte kruga k seče krug l, inverzne u odnosu na krugk.623. Dokazati da je par tačaka P , P ′ inverznih u odnosu na krug k harmonijskispregnut s parom tačaka u kojima prava P P ′ seče krug k.624. Ako su A i B dijametralno suprotne tačke kruga k, a P i P ′ tačke harmonijskispregnute sa tačkama A i B, dokazati da su tačke P i P ′ inverzne uodnosu na krug k.625. Ako je A, A ′ par inverznih tačaka u odnosu na krug k kome je središte O,a M proizvoljna tačka kruga k, dokazati da je △AOM ∼ △MOA ′ .626. Ako P, P ′ i Q, Q ′ dva para nekolinearnih tačaka, inverznih u odnosu naisti krug k sa središtem O, dokazati da su trouglovi △OP Q i △OQ ′ P ′ inverznoslični.627. Dokazati da svaka dva para nekolinearnih tačaka P, P ′ i Q, Q ′ inverznih uodnosu na isti krug k pripadaju jednom krugu l koji je ortogonalan na krugu k.628. Ako su P i P ′ inverzne tačke u odnosu na krug k(O, r), a Q proizvoljnatačka kruga k, dokazati da jeOP : OP ′ = P Q 2 : P ′ Q 2 .629. Ako je P, P ′ par inverznih tačaka u odnosu na krug k, dokazati da suduži koje spajaju proizvoljnu tačku M toga kruga s tačkama P i P ′ srazmerneodsečcima na koje krug k deli duž P P ′ .630. Dokazati da simetrala stranice BC trougla ABC seče prave AB i AC utačkama P i Q inverznim u odnosu na opisani krug tog trougla.631. Ako je AB proizvoljna tetiva i M proizvoljna tačka kruga k, dokazati daprave MA i MB seku simetralu duži AB u dvema inverznim tačkama.632. Ako su P , P ′ par inverznih tačaka u odnosu na krug k i M proizvoljnatačka tog kruga, dokazati da prave MP i MP ′ seku krug k u tačkama A i Btakvim da je tetiva AB upravna na pravoj P P ′ .7.2. Inverzni likoviDefinicija 7.2. Ako je ω proizvoljan lik koji se nalazi u ravni nekog kruga, ω ′lik koji se sastoji iz tačaka inverznih s tačkama lika ω u odnosu na krug k, tadakažemo da je lik ω ′ inverzan s likom ω u odnosu na krug k.65
- Page 13 and 14: 142. Ako su AA ′ , BB ′ , CC
- Page 15 and 16: 160. Ako su S b i S c središta spo
- Page 17 and 18: (a)(b)(v)(g)SA 1 ‖ AP a ;S a A 1
- Page 19 and 20: 195. Ako su B i C tačke u kojima p
- Page 21 and 22: 214. Ako krug upisan u trougao ABC
- Page 23 and 24: (a)(b)(v)h 3 a = amn;a 2 = m 2 + n
- Page 25 and 26: (b)(c)(d)AP a · P a P ′ a = 2ϱ
- Page 27 and 28: (a)(b)ϱ · ϱ a = (p − b) · (p
- Page 29 and 30: 270. Ako su S, S a , S b , S c sred
- Page 31 and 32: 4. KARAKTERISTIČNE TEOREME I NJIHO
- Page 33 and 34: 299. Ako su r i ϱ a poluprečnik o
- Page 35 and 36: ;;.(a)(b)(v)HS 2 = 4r 2 + 4rϱ + 3
- Page 37 and 38: 332. Neka su A ′ , B ′ , C ′
- Page 39 and 40: 4.6. Dezargova teorema i njena prim
- Page 41 and 42: 375. Ako je N Nagelova tačka troug
- Page 43 and 44: 394. (L. Euler) Ako su P i Q sredi
- Page 45 and 46: 408. Ako su A, B, C, D kolinearne t
- Page 47 and 48: 426. Ako neka prava p ′ seče če
- Page 49 and 50: 446. Ako su A, B, C, D, E, F razne
- Page 51 and 52: 463. Ako obeležimo sa S proizvoljn
- Page 53 and 54: 481. Ako je P proizvoljna tačka ko
- Page 55 and 56: 6.4. Polarni i ortogonalni krugovi.
- Page 57 and 58: 534. Dokazati da je bilo koje sredi
- Page 59 and 60: 561. Ako su S a , S b , S c središ
- Page 61 and 62: u jednoj tački ili su medu - sobom
- Page 63: 601. Ako je l krug koji pripada pra
- Page 67 and 68: 647. Dokazati da se središte kruga
- Page 69 and 70: 8. INVOLUCIJADefinicija 8.1. Jednoz
- Page 71 and 72: krugove tog pramena krugova, dokaza
- Page 73 and 74: 703. Ako je O središte kruga opisa
- Page 75 and 76: 726. Ako je H ortocentar i T teži
- Page 77 and 78: 743. Ako su m i n dve izogonalne pr
- Page 79 and 80: 768. Dokazati da prave kroz Lemoano
- Page 81 and 82: 788. Dokazati da se Brokarove tačk
- Page 83 and 84: 812. Dokazati da se ortopol prave k
- Page 85 and 86: 820. Ako su P i Q težišta dvaju k
- Page 87 and 88: (a)(b)(v)i=1n∑HA 2 i = n · (n
- Page 89 and 90: 852. Ako je A 1 . . . A 2n pravilan
- Page 91 and 92: 868. Ako je a 8 stranica pravilnog
- Page 93 and 94: 11. RAZLAGANJE POVRŠI I ODRE-DIVAN
- Page 95 and 96: presek O tih pravih sa središtima
- Page 97 and 98: c.S 2 = ϱϱ a ϱ b ϱ c917. Ako su
- Page 99 and 100: a.b.OA ′AA ′ + OB′BB ′ + OC
- Page 101 and 102: (b)S(P QR) = m2 − mn + n 2(m + n)
- Page 103 and 104: k i (i = a, b, c) sa pravama BC, CA
- Page 105 and 106: 988. Dokazati da je kod svakog trou
- Page 107 and 108: 1008. Dat je konveksan ugao MON i u
- Page 109 and 110: (g)(d)(j)ab + bc + ca ≤ 4(r + ϱ)
- Page 111 and 112: (a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)abc ≤ 827 p3
- Page 113 and 114: (c)(d)l 2 a + l 2 b + l 2 c ≤ 3(2
617. Ako su AA ′ , BB ′ , CC ′ visine trougla ABC, a P proizvoljna tačka njegoveravni, dokazati da krugovi k 1 , k 2 , k 3 opisani oko trouglova △P AA ′ , △P BB ′ , △P CC ′pripadaju izvesnom pramen krugova.618. Dve prave l i l ′ kroz zajedničku tačku P svih krugova eliptičkog pramenaseku tri kruga tog pramena u tačkama A, B, C i A ′ , B ′ , C ′ . Dokazati da je:AB : BC = A ′ B ′ : B ′ C ′ .619. Ako su O 1 , O 2 , O 3 središta i r 1 , r 2 , r 3 poluprečnici triju krugova istogpramena, dokazati da je:r 2 1 · O 2 O 3 + r 2 2 · O 3 O 1 + r 2 3 · O 1 O 2 + O 1 O 2 · O 2 O 3 · O 3 O 1 = 0.620. Ako su O 1 , O 2 , O 3 središta krugova k 1 , k 2 , k 3 nekog pramena, a d 1 , d 2 , d 3odsečci na dirkama krugova k 1 , k 2 , k 3 kroz proizvoljnu tačku P koja se nalaziizvan njih, dokazati da je:d 2 1 · O 2 O 3 + d 2 2 · O 3 O 1 + d 2 3 · O 1 O 2 = 0.64
Change language