postavka zadataka u pdf formatu - 663KB - Alas

584. Dokazati da krugovi ortogonalni na svim krugovima hiperboličkog pramenaobrazuju eliptički pramen.585. Dokazati da krugovi ortogonalni na krugovima paraboličkog pramenaobrazuju parabolički pramen.586. Dokazati da postoji jedan i samo jedan krug koji pripada datom pramenukrugova, a koji sadrži datu tačku izvan radikalne ose tog pramena krugova.587. Dokazati da je svaki krug koji sadrži granične tačke hiperboličkog pramenakrugova ortogonalan na svim krugovima tog pramena krugova.588. Dokazati da su tačke u kojima središnja prava hiperboličkog pramena krugovaseče bilo koji krug tog pramena krugova harmonijski spregnute sa graničnimtačkama tog pramena krugova.589. Ako je C jedna od graničnih tačaka hiperboličkog pramena krugova i Dtačka u kojoj prava kroz C dodiruje neki krug tog pramena krugova, dokazatida su tačke C i D harmonijski spregnute sa tačkama A i B u kojima ta dirkaseče bilo koji drugi krug tog pramena krugova.590. Ako su k 1 , k 2 , k 3 krugovi jednog pramena, A i B tačke u kojima jednaprava dodiruje krugove k 1 i k 2 , a C i D tačka u kojima ta ista prava seče krugk 3 , dokazati da su tačke C i D harmonijski spregnute s tačkama A i B.591. Ako su središta svih krugova k 1 , k 2 , . . . na jednoj pravoj i ako postoji tačkaP koja ima jednake potencije u odnosu na sve te krugove, dokazati da ti krugovipripadaju izvesnom pramenu krugova.592. Ako postoje dve tačke P i Q od kojih svaka ima jednake potencije uodnosu na krugove k 1 , k 2 , . . ., dokazati da pomenuti krugovi pripadaju izvesnompramenu krugova.593. Dokazati da su krugovi koji su ortogonalni na istom krugu i kojima sesredišta poklapaju nalaze na jednoj pravoj obrazuju pramen krugova.594. Dokazati da se polare jedne tačke u odnosu na krugove bilo kojeg pramenaseku u jednoj tački ili su me - du sobom uporedne.595. Ako se polare neke tačke P u odnosu na krugove k 1 , k 2 , . . . kojima susredišta na jednoj pravoj, seku u jednoj tački Q, dokazati da pomenuti krugovipripadaju izvesnom pramenu krugova.596. Ako su tačke A i B spregnute u odnosu na neki krug k, dokazati da jekvadrat duži AB jednak zbiru potencija tačaka A i B u odnosu na krug k.597. Ako je kvadrat duži AB jednak zbiru potencija tačaka A i B u odnosu nakrug k, dokazati da su tačke A i B spregnute u odnosu na taj krug.598. Ako su k 1 , k 2 , k 3 me - du sobom ortogonalni krugovi, dokazati da su središtabilo koja dva od tih krugova spregnuta u odnosu na treći krug.599. Ako su A ′ , B ′ , C ′ tačke u kojima dirke kruga opisanog oko trougla ABCkonstruisane u temenima A, B, C seku prave BC, CA, AB, dokazati da krugovik 1 (A ′ , A ′ A), k 2 (B ′ , B ′ B), k 3 (C ′ , C ′ C) pripadaju eliptičkom pramenu krugova.600. Ako su A ′ , B ′ , C ′ tačke u kojima dirke kruga opisanog oko trougla ABCkonstruisane u temenima A, B, C seku prave BC, CA, AB, dokazati da krugovik 1 , k 2 , k 3 kojima su duži AA ′ , BB ′ , CC ′ prečnici pripadaju izvesnom pramenukrugova kome je radikalna osa Ojlerova prava trougla ABC. Dokazati zatim daje dobijeni pramen krugova eliptički, parabolički ili hiperbolički zavisno od togada li je trougao ABC oštrougli, pravougli ili tupougli.62