postavka zadataka u pdf formatu - 663KB - Alas

u jednoj tački ili su medu - sobom uporedne). U ovom poglavlju proučavaćemosamo osobine nedegenerisanih pramenova krugova.Slika !Nedegenerisani pramen krugova potpuno je odreden - ako su data dva njegovakruga, ili pak ako su dati njegova radikalna osa i jedan njegov krug. Nije teškodokazati da skup središta svih krugova bilo kojeg nedegenerisanog pramena krugovanalazimo na jednoj pravoj. Zaista, ako su O 1 , O 2 , O 3 , . . . središta krugovak 1 , k 2 , k 3 , . . . nekog pramena, sve prave O 1 O 2 , O 1 O 3 , . . . sadrže tačku O 1 a upravnesu na radikalnoj osi s tog pramena krugova, prema tome, one su istovetne.Prava koja sadrži središta krugova nekog pramena naziva se središnja ili centralnaprava tog pramena krugova, a tačka u kojoj ta prava seče radikalnu osunaziva se središte ili centar tog pramena krugova. Prirodno se nameće i pitanjeda li je svaka tačka središnje prave nekog pramena krugova, središte izvesnogkruga koji pripada tom pramenu krugova. Odgovor na ovo pitanje dajemo pojedinačnoza pojedine vrste pramenova krugova. Ako je pramen krugova eliptički,tačke A i B u kojima se seku svi njegovi krugovi, simetrične su medu - sobomu odnosu na središnju pravu o tog pramena, pa je svaka tačka prave o središteizvesnog kruga koji sadrži tačke A i B, i prema tome pripada tom pramenu.Ako je pramen krugova parabolički, tačka C u kojoj se dodiruju svi njegovikrugovi je na središnjoj pravoj o tog pramena. Stoga je svaka tačka prave o,izuzev tačke C, središte izvesnog kruga koji u tački C dodiruje sve krugove togpramena, i prema tome pripada tom pramenu. Ako je pramen krugova hiperbolički,njegovo središte C kao tačka radikalne ose jednake potencije u odnosuna sve krugove tog pramena, i to pozitivne jer se tačka C nalazi izvan svih tihkrugova. Stoga je za svaki krug k(O, r) tog pramena CO 2 − r 2 = c 2 , i prematome CO > C. Otuda sleduje da samo one tačke O ′ središne prave za kojeje CO ′ > c predstavljaju središta krugova koji pripadaju tom pramenu. Stogatačke C 1 i C 2 središnje prave koje se nalaze s raznih strana od tačke C takveda je CC 1 = CC 2 = C nazivamo graničnim tačkama tog hiperboličkog pramenakrugova.577. Dokazati da su potencije proizvoljne tačke radikalne ose nekog pramenakrugova u odnosu na sve krugove tog pramena me - du sobom jednake.578. Dokazati da se tačka s jednakim potencijama u odnosu na sve krugovenekog pramena krugova nalazi na radikalnoj osi tog pramena krugova.579. Ako je središte kruga l na radikalnoj osi nekog pramena krugova i akoje krug l ortogonalan na jednom krugu k tog pramena, dokazati da je krug lortogonalan na svim krugovima tog pramena krugova.580. Ako je krug l ortogonalan na dvama krugovima k 1 i k 2 nekog pramenakrugova, dokazati da je krug l ortogonalan na svim krugovima tog pramenakrugova.581. Dokazati da je svaka tačka radikalne ose nekog pramena krugova kojase nalazi izvan tih krugova središte jednog kruga koji je ortogonalan na svimkrugovima tog pramena krugova.582. Dokazati da krugovi ortogonalni na svim krugovima nekog pramena krugovatako - de obrazuju pramen krugova.583. Dokazati da krugovi ortogonalni na svim krugovima eliptičkog pramenaobrazuju hiperbolički pramen.61