postavka zadataka u pdf formatu - 663KB - Alas

561. Ako su S a , S b , S c središta spolja upisanih krugova trougla ABC, dokazatida se presečne tačke P , Q, R pravih BC i S b S c , CA i S c S a , AB i S a S b , nalazena radikalnoj osi krugova l i l ′ opisanih oko trouglova ABC i S a S b S c .562. Ako su S, S b , S c središte upisanog kruga i središte spolja upisanih krugovatrougla ABC, dokazati da se presečne tačke P , Q, R pravih BC i S b S c , CAi SS c , AB i SS b nalaze na radikalnoj osi krugova l i l ′ opisanih oko trouglovaABC i SS b S c .563. Dokazati da je prava odre - dena visinom AA ′ trougla ABC radikalna osakrugova čiji su prečnici težišne linije BB 1 i CC 1 tog trougla.564. Ako su A 1 , B 1 , C 1 središta stranica BC, CA, AB trougla ABC, dokazatida su simetrale unutrašnjih uglova trougla A 1 B 1 C 1 radikalne ose upisanih krugovak, k a , k b , k c trougla ABC.565. Dokazati da je ortocentar trougla radikalno središte triju krugova čiji suprečnici stranice tog trougla.566. Ako je M tačka u ravni trougla ABC takva da prave MA, MB, MC sekuprave BC, CA, AB u tačkama P , Q, R, dokazati da je ortocentar H trouglaABC radikalno središte krugova sa dijametrima AP , BQ, CR.567. Dokazati da je razlika potencije neke tačke P u odnosu na dva krugak 1 i k 2 jednaka dvostrukom proizvodu duži koja spaja središta tih krugova iodstojanja tačke P od radikalne ose tih krugova.568. Dokazati da je skup svih tačaka kojima je razlika potencija u odnosuna dva kruga k 1 i k 2 stalna, prava uporedna ili istovetna s radikalnom osom skrugova k 1 i k 2 .569. Ako su O 1 i O 2 središta, a r 1 i r 2 poluprečnici dvaju krugova k 1 i k 2 i Osredište duži O 1 O 2 , dokazati da je2O 1 O 2 · OS = r 2 1 − r 2 2.570. Ako su O i r središte i poluprečnik opisanog kruga trougla ABC, Hortocentar tog trougla i X podnožje normale iz tačke O na ortičkoj pravoj togtrougla, dokazati da jeOX = 3r2 + OH 24OH .571. Ako je l(O, r) opisani i k(S,ϱ) upisani krug trougla ABC, a X tačka ukojoj prava OS seče pravu s na kojoj se nalaze preseci simetrala spoljašnjihuglova sa produženjima naspramnih stranica tog trougla, dokazati da jeOX 2 = (r + q) 2 ·rr − 2q .572. Ako je l(O, r) opisani i k a (S a , ϱ a ) spolja upisani krug trougla ABC aX a tačka u kojoj prava OS a seče pravu s a na kojoj se nalaze preseci simetralespoljašnjeg ugla A i simetrala unutrašnjih uglova B i C sa pravama odre - denimnaspramnim stranicama trougla ABC, dokazati da jeOX 2 a = (r − ϱ a ) 2 ·rr + 2ϱ a.59