postavka zadataka u pdf formatu - 663KB - Alas

534. Dokazati da je bilo koje središte sličnosti dvaju krugova k 1 i k 2 jednakoudaljeno od dirki na tim krugovima koje su konstruisane na njihovim presečnimtačkama.535. Ako su O 1 , O 2 , O 3 središta triju krugova l 1 , l 2 , l 3 od kojih svaki dodirujeostala dva, P 1 , P 2 , P 3 dodirne tačke krugova l 1 i l 2 , l 3 i l 1 , l 1 i l 2 , a X i Y tačkeu kojima prave P 1 P 2 i P 1 P 3 seku krug l 1 , dokazati da tačke O 1 , X, Y pripadajujednoj pravoj koja je uporedna sa pravom O 2 O 3 .6.6. Potencija tačke u odnosu na krugDefinicija 6.7. Neka je M proizvoljna tačka ravni nekog kruga k. Ako su P i Qpromenljive tačke kruga k kolinearne sa tačkom M, tada je proizvod duži MPi MQ konstantan. Tu konstantu nazivamo stepenom ili potencijom tačke M uodnosu na krug k. Potencija tačke M u odnosu na krug k ima pozitivan znakako je tačka M izvan kruga k, a negativan ako je tačka M u krugu k.536. Ako je M tačka ravni kruga k, a A i B par tačaka kruga k kolinearnih saM, dokazati da je proizvod duži MA i MB konstantan.537. Ako je M tačka izvan kruga k, a T dodirna tačka jedne od dirki kruga kkroz tačku M, dokazati da je potencija tačke M u odnosu na krug k jednakakvadratu duži MT .538. Ako je O središte i r poluprečnik kruga k, a d duž koja spaja neku tačkuM sa tačkom O i p(M) potencija tačke M u odnosu na krug k, dokazati da jep(M) = ±(d 2 − r 2 ), prema tome da li je tačka M izvan ili u krugu k.539. Dokazati da je potencija ortocentra H trougla △ABC u odnosu na krugl opisan oko tog trougla jednak četvorostrukoj potenciji iste tačke H u odnosuna Ojlerov krug k tog trougla.540. Dokazati da je zbir potencija temena trougla ABC u odnosu na Ojlerovkrug k tog trougla jednak četvrtini zbira kvadrata stranica tog trougla.541. Ako su A 1 , B 1 , C 1 tačke simetrične sa ortocentrom H u odnosu na temenaA, B, C trougla ABC, dokazati da je zbir potencija tačaka A 1 , B 1 , C 1 u odnosuna krug l trougla ABC jednak zbiru kvadrata stranica tog trougla.542. Ako su a, b, c stranice trougla ABC, r poluprečnik opisanog kruga i ppotencija ortocentra H u odnosu na opisani krug, dokazati da jep = a 2 + b 2 + c 2 − 8r 2 .543. Ako je T težište trougla ABC, dokazati da su potencije tačaka A, B, C uodnosu na krugove T BC, T CA, T AB me - du sobom jednake.544. Dokazati da je kvadrat poluprečnika polarnog kruga trougla jednak polovinipotencije ortocentra u odnosu na opisani krug tog trougla.545. Dokazati da je potencija središta bilo kojeg upisanog kruga u odnosuna opisani krug trougla jednak dvostrukom proizvodu poluprečnika tih dvajukrugova.546. Dokazati da je zbir potencija odredišta svih upisanih krugova u odnosuna opisani krug jednak 8r 2 , gde je r poluprečnik opisanog kruga.57