postavka zadataka u pdf formatu - 663KB - Alas

Definicija 6.5. Za dve tačke P i P ′ krugova k i k ′ koji su kolinearni sa spoljašnjimili unutrašnjim središtem sličnosti tih dvaju krugova kažemo da su homologneili antihomologne u odnosu na to središte sličnosti zavisno od toga da li supoluprečnici koji odgovaraju tim tačkama istosmerni ili ne.Definicija 6.6. Za dve tetive P Q i P ′ Q ′ krugova k i k ′ kažemo da su homologneili antihomologne u odnosu na središte S sličnosti tih dvaju krugova zavisno odtoga da li su tačke P ′ i Q ′ homologne ili antihomologne sa tačkama p i Q uodnosu na isto središte sličnosti S tih krugova.522. Dve prave kroz središte S sličnosti krugova k i k ′ seku te krugove; jednaseče krug k u tačkama A i B, a krug k ′ u tačkama A ′ i B ′ , druga seče krug k utačkama C i D, a krug k ′ u tačkama C ′ i D ′ . Ako su pri tome A i A ′ , B i B ′ ,D i D ′ homologne tačke krugova k i k ′ , dokazati da jeAA ′ · BB ′ = CC ′ · DD ′ .523. Ako su A, B ′ i C, D ′ dva para antihomolognih tačaka dvaju krugova k ik ′ definisani u odnosu na isto središte S sličnosti tih krugova, dokazati da jeSA · SB ′ = SC · SD ′ .524. Ako su A, B ′ i C, D ′ dva para antihomolognih tačaka krugova k i K ′odre - denih u odnosu na isto središte S sličnosti tih krugova, dokazati da tačkeA, B ′ , C, D ′ pripadaju jednom krugu ili jednoj pravoj.525. Ako neki krug l dodiruje dva kruga k i k ′ u tačkama A i B, dokazati dasu A i B antihomologne tačke krugova k i k ′ .526. Dokazati da je skup svih tačaka kojima su rastojanja od središta O 1 i O 2krugova k 1 i k 2 srazmerna poluprečnicima r 1 i r 2 tih krugova tako - de krug komeje prečnik duž odre - dena središtima S 1 i S 2 sličnosti tih krugova.527. Ako je l krug sličnosti dvaju krugova k 1 i k 2 , dokazati da je skup svihtačaka iz kojih parovi dirki na krugovima k 1 i k 2 zahvataju jednake uglove, onajdeo kruga l koji se nalazi izvan krugova k 1 i k 2 .528. Ako su k 1 , k 2 , k 3 tri kruga s nejednakim poluprečnicima i kolinearnimsredištima, dokazati da se od šest središta sličnosti tih krugova uzetih u parovimapo tri nalaze na četiri prave.529. Dokazati da su ortocentar H i težište T trougla ABC središta sličnostiopisanog kruga l i Ojlerovog kruga l ′ trougla ABC.530. Ako su S, S a , S b , S c središta upisanih krugova trougla ABC, dokazatida je tačka S spoljašnje središte sličnosti krugova l ′ i l opisanih oko trouglovaS a S b S c i ABC.531. Ako je k upisani krug trougla ABC i k ′ krug kome je visina AA ′ prečnik,dokazati da je tačka u kojoj spolja upisani krug k a dodiruje stranicu BC spoljašnjesredište sličnosti krugova k i k ′ .532. Ako je k a spolja upisani krug trougla ABC, i k ′ krug kome je visinaAA ′ prečnik, dokazati da je tačka u kojoj upisani krug k trougla ABC dodirujestranicu BC unutrašnje središte sličnosti krugova k a i k ′ .533. Dokazati da je svaki krug koji sadrži središta O 1 i O 2 dvaju krugova k 1 ik 2 ortogonalan na krugu sličnosti krugova k 1 i k 2 .56