postavka zadataka u pdf formatu - 663KB - Alas

5. HARMONIJSKI SPREGNUTI ELEMENTI. DVORAZMERA5.1. Harmonijske tačke i harmonijske praveDefinicija 5.1. Ako su A, B, C, D četiri razne kolinearne tačke takve da jeAC : CB = AD : DB, tada kažemo da su tačke C i D harmonijski spregnutesa tačkama A i B ili da su tačke A, B, C, D harmonijski spregnute.Činjenicu da su A, B, C, D četiri harmonijske tačke simbolički obeležavamosa H(A, B; C, D).Definicija 5.2. Za četiri konkurentne ili paralelne prave a, b, c, d kažemo da suharmonijski spregnute ako postoji prava s koja ih seče redom u harmonijskimtačkama A, B, C, D.Činjenicu da su a, b, c, d četiri harmonijske prave simbolički obeležavamo saH(a, b; c, d).399. Ako su A, B, C tri razne kolinearne tačke, dokazati da postoji jedna isamo jedna tačka D takva da je H(A, B; C, D).400. Ako su A, B, C, D četiri kolinearne tačke takve da je H(A, B; C, D),dokazati da je H(C, D; A, B).401. Ako su A, B, C, D četiri razne tačke neke prave p, O tačka izvan prave pa E i F tačke u kojima prava kroz B uporedna sa OA seče OC i OD, dokazatida je H(A, B; C, D) ako i samo ako je tačka B središte duži EF .402. Ako su A, B, C, D četiri razne kolinearne tačke i ako je tačka O središteduži AB, dokazati da je H(A, B; C, D) ako i samo ako jeOB 2 = OC · OD.403. Dokazati da su četiri razne kolinearne tačke A, B, C, D harmonijskispregnute ako i samo ako je1AC + 1AD = 2AB .404. Ako su A, B, C, D razne kolinearne tačke, dokazati da je H(A, B; C, D)ako i samo ako jeOCAC + ODAD = 2AB .405. Ako su A, B, C, D razne kolinearne tačke, dokazati da je(OA + OB)(OC + OD) = 2(OA · OB + OC · OD).406. Ako su A, B, C, D kolinearne tačke takve da je H(A, B; C, D), dokazatida je1AC + 1BC + 1AD + 1BD = 0.407. Ako su A, B, C, D kolinearne tačke takve da je H(A, B; C, D) i ako je Osredišne duži AB, dokazati da je1AC · BC + 1AD · BD = 1AO · BO .44