postavka zadataka u pdf formatu - 663KB - Alas

386. Ako su A ′ , B ′ , C ′ , D ′ tačke u kojima proizvoljan krug kroz teme Aparalelograma ABCD seče poluprave AB, AC, AD, dokazati da jeAC · AC ′ = AB · AB ′ + AD · AD ′ .387. Ako su a, b, c, d duži jednake stranicama AB, BC, CD, DA a x i yduži jednake dijagonalama AC i BD konveksnog i tetivnog četvorougla ABCD,dokazati da jexy=ad + bcab + cd .388. Ako su a, b, c, d duži jednake stranicama AB, BC, CD, DA a x i yduži jednake dijagonalama AC i BD konveksnog i tetivnog četvorougla ABCD,dokazati da jex 2 =(ac + bd)(ad + bc), i y 2 =ab + cd(ac + bd)(ab + cd).ad + bc389. Ako je AB prečnik i r poluprečnik kruga k, a C i D tačke na raznimlucima AB tog trougla, dokazati da jeCD = 1 2r (AC√ 4r 2 − AD 2 + AD √ 4r 2 − AC 2 ).390. Ako je AB prečnik kruga k, a C i D tačke na istom luku AB toga krugatakve da je četvorougao ABCD konveksan, dokazati da jeCD = 1 2r (AC√ 4r 2 − AD 2 + AD √ 4r 2 − AC 2 ).391. Ako obeležimo sa S presečnu tačku dijagonala četvorougla ABCD upisanogu krugu poluprečnika r, a sa r 1 , r 2 , r 3 , r 4 poluprečnike krugova opisanihoko trouglova SAB, SBC, SCD, SDA, dokazati da jer 2 = (r 1r 2 + r 3 r 4 )(r 1 r 4 + r 2 r 3 )r 1 r 3 + r 2 r 4.392. Ako je A 1 . . . A 6 konveksan šestougao upisan u krug k i ako njegoveuzastopne stranice A 1 A 2 , . . . , A 6 , A 1 obeležimo sa a 1 , . . . , a 6 dijagonale A 1 A 4 ,A 2 A 5 , A 3 A 6 sa d 1 , d 2 , d 3 , dokazati da jed 1 d 2 d 3 = a 1 a 3 a 5 + a 2 a 4 a 6 + a 1 a 4 d 3 + a 2 a 5 d 1 + a 3 a 6 d 2 .393. Ako su d 1 , . . . , d 2n+1 rastojanja temena pravilnog poligona A 1 . . . A 2n+1s neparnim brojem stranica od proizvoljne tačke P koja se nalazi na manjemluku A 1 A 2n+1 kruga opisanog oko tog poligona, dokazati da jed 1 + d 3 + d 5 + . . . + d 2n+1 = d 2 + d 4 + d 6 + . . . + d 2n .4.11. Ojlerova teorema iz geometrije četvorougla i njena primena42