postavka zadataka u pdf formatu - 663KB - Alas

4.8. Brijanšonova teorema i njena primena365. (M. Brianchon) Dokazati da se prave odre - dene naspramnim temenimatangentnog šestougla seku u jednoj tački, Brijanšonovoj tački tog šestougla.366. Ako su P , Q, R tačke u kojima stranice BC, CA, AB dodiruju upisanikrug trougla ABC, dokazati da se prave AP , BQ, CR seku u jednoj tački.367. Ako su P , Q, R, S tačke u kojima prave odre - dene stranicama AB, BC,CD, DA tangentnog četvorougla ABCD dodiruju upisani krug k, dokazati dase prave AC, BD, P R, QS seku u jednoj tački.368. Ako su P , Q, R tačke u kojima upisani krug k dodiruje stranice BC, CA,AB trougla ABC, zatim A ′ , B ′ , C ′ tačke pravih BC, CA, AB takve da se praveAA ′ , BB ′ , CC ′ seku u jednoj tački O, a P ′ , Q ′ , R ′ tačke u kojima se seku drugedirke kruga k iz tačaka B ′ i C ′ , C ′ i A ′ , A ′ i B ′ , dokazati da se prave P P ′ , QQ ′ ,RR ′ seku u tački O.4.9. Van Obelova teorema i njena primena369. (Van Aubel) Ako su A ′ , B ′ , C ′ tačke pravih koje su odredene - stranicamaBC, CA, AB trougla ABC takve da se prave AA ′ , BB ′ , CC ′ seku u jednojtački O, dokazati da jeAOOA = AC′C ′ B + AB′B ′ C .370. Ako je T presek težišnih linija AA ′ , BB ′ , CC ′ trougla ABC, dokazati dajeAT : T A ′ = 2 : 1.371. Ako je S središte upisanog kruga trougla ABC, a E tačka u kojoj pravaAS seče stranicu BC, dokazati da jeAS : SE = (b + c) : a.372. Ako je G Žergonova tačka trougla ABC, a P tačka u kojoj upisani krugdodiruje stranicu BC, dokazati da jeAGGP=a(p − a)(p − b)(p − c) .373. Ako je S c središte spolja upisanog kruga trougla ABC kome je AC > ABi F tačka u kojoj prava AS c seče pravu BC, dokazati da jeAS c : S c F = (b − c) : a.374. Ako je r poluprečnik opisanog kruga i ϱ poluprečnik upisanog krugatrougla ABC, zatim P , Q, R tačke u kojima upisani krug dodiruje stranice BC,CA, AB i G Žergonova tačka trougla ABC, dokazati da jeAGGP · BGGQ · CQGR = 4rϱ .40