postavka zadataka u pdf formatu - 663KB - Alas

31. Ako je S presek dijagonala konveksnog četvorougla ABCD i P proizvoljnatačka njegove ravni, dokazati da jeSA + SB + SC + SD ≤ P A + P B + P C + P D.32. Dokazati da je zbir dijagonala konveksnog četvorougla veći od poluobima,a manji od obima tog četvorougla.33. Dokazati da je zbir svih dijagonala konveksnog petougla veći od obima togpetougla.34. Ako je P proizvoljna tačka u ravni konveksnog poligona A 1 . . . A n , dokazatida jeP A 1 + P A 2 + . . . + P A n > 1 2 (A 1A 2 + A 2 A 3 + . . . + A n A 1 ).35. Ako je P proizvoljna tačka u konveksnom poligonu A 1 . . . A n , dokazati dajeP A 1 + P A 2 + . . . + P A n < n − 1 (A 1 A 2 + A 2 A 3 + . . . + A n A 1 ).236. Tačka D je središte stranice BC trougla △ABC. Ako je AC > AB,dokazati da je ∠BAD > ∠CAD, i obrnuto, ako je ∠BAD > ∠CAD, dokazatida je AC > AB.37. Ako je D bilo koja unutrašnja tačka stranice BC trougla △ABC, dokazatida jeAB + AC − BC < 2AD.38. Ako su a, b, c stranice trougla i m a težišna linija koja odgovara stranici a,dokazati da jeb + c − a < 2m a < b + c.39. Ako su m a , m b , m c težišne linije trougla i p njegov poluobim, dokazati dajep < m a + m b + m c < 2p.40. Ako je P proizvoljna tačka simetrale unutrašnjeg ugla ∠A, a O proizvoljnatačka simetrale spoljašnjeg ugla ∠A trougla △ABC, dokazati da je|P B − P C| ≤ |AB − AC| i QB + QC ≥ AB + AC.41. Ako je kod trougla △ABC stranica AB manja od stranice AC, tačka Dsredište stranice BC, tačka E presek raspolovnice ugla ∠A sa stranicom BC iN podnožje visine iz temena A, dokazati da je ∠AEB < ∠AEC, BE < CE, atačka E izme - du tačaka N i D.42. Ako su △ABC i △A ′ B ′ C ′ dva trougla kod kojih je AB = A ′ B ′ , AC = A ′ C ′i ∠A > ∠A ′ , dokazati da je BC > B ′ C ′ .43. Ako su △ABC i △A ′ B ′ C ′ dva trougla kod kojih je AB = A ′ B ′ , AC = A ′ C ′i BC > B ′ C ′ , dokazati da je ∠A > ∠A ′ .44. Dokazati da su kod trougla ABC stranice AB i AC me - du sobom jednakeako su mu jednake:(a) težišne linije BB 1 i CC 1 ;(b) simetrale BB 2 i CC 2 unutrašnjih uglova B i C;4