postavka zadataka u pdf formatu - 663KB - Alas

4.6. Dezargova teorema i njena primena354. (G. Dezargues) Neka su ABC i A ′ B ′ C ′ dva trougla koji pripadaju jednojravni i kojima se prave odre - dene odgovarajućim stranicama BC i B ′ C ′ , CA iC ′ A ′ , AB i A ′ B ′ seku u tačkama P , Q, R. Ako se pri tome prave AA ′ , BB ′ ,CC ′ seku u jednoj tački, dokazati da tačke P , Q, R pripadaju jednoj pravoj, iobratno, ako tačke P , Q, R pripadaju jednoj pravoj, dokazati da se prave AA ′ ,BB ′ , CC ′ seku u jednoj tački.355. Ako su tačke P , Q, R na pravama odre - denim stranicama BC, CA, ABtrougla ABC takve da se prave AP , BQ, CR seku u jednoj tački O, dokazatida presečne tačke P ′ , Q ′ , R ′ pravih BC i QR, CA i RP , AB i P K pripadajujednoj pravoj.356. Ako su AA ′ , BB ′ , CC ′ visine trougla ABC, dokazati da tačke P , Q, Ru kojima se seku prave BC i B ′ C ′ , CA i C ′ A ′ , AB i A ′ B ′ pripadaju jednojpravoj.357. Ako su P , Q, R tačke u kojima upisani krug dodiruje stranice BC, CA,AB trougla ABC, dokazati da se tačke X, Y , Z u kojima se seku prave QR iBC, RP i CA, P Q i AB nalaze na jednoj pravoj358. Ako su P a , Q b , R c tačke u kojima spolja upisani krugovi dodiruju straniceBC, CA, AB trougla ABC, dokazati da se tačke X, Y , Z u kojima se sekuQ b R c i BC, R c P a i CA, P a Q b i AB nalaze na jednoj pravoj.359. Dokazati da se ose perspektiva triju trouglova, perspektivnih u odnosu naistu tačku, seku u jednoj tački.4.7. Paskalova teorema i njena primena360. (B. Pascal) Ako je A 1 , . . . , A 6 tetivan šestougao, dokazati da tačke P , Q,R u kojima se seku prave odre - dene naspramnim stranicama A 1 A 2 i A 4 A 5 , A 2 A 3i A 5 A 6 , A 3 A 4 i A 6 A 1 pripadaju jednoj pravoj.361. Neka se tri tetive AA ′ , BB ′ , CC ′ istog kruga k seku u jednoj tački S. Akoobeležimo sa X proizvoljnu tačku kruga k i sa P , Q, R tačke u kojima praveXA ′ , XB ′ , XC ′ seku respektivno prave BC, CA, AB, dokazati da tačke P , Q,R, S pripadaju jednoj pravoj.362. Ako obeležimo sa D proizvoljnu tačku trougla ABC, sa P i Q podnožjaupravnih iz tačke D na pravama AB i AC, a sa R i S podnožja upravnih iztačke A na pravama DB i DC, dokazati da su prave BC, P S, QR konkurentne.363. Ako su P , Q, R podnožja upravnih iz proizvoljne tačke O na pravamakoje su odre - dene stranicama BC, CA, AB trougla ABC, a P ′ , Q ′ , R ′ tačkeu kojima krug l odre - den tačkama P , Q, R seče prave BC, CA, AB, dokazatida presečne tačke X, Y, Z pravih QR ′ i Q ′ R, RP ′ i R ′ P , P Q ′ i P ′ Q pripadajupravoj koja je odre - dena tačkom O i središtem S kruga l.364. Ako su P , Q, R tačke u kojima neka prava s kroz izvesnu tačku O sečeprave odre - dene stranicama BC, CA, AB trougla ABC, a P ′ , Q ′ , R ′ tačke ukojima prave OA, OB, OC seku opisni krug oko tog trougla, dokazati da seprave P P ′ , QQ ′ , RR ′ seku u jednoj tački koja se nalazi na opisanom krugu okotog trougla.39