postavka zadataka u pdf formatu - 663KB - Alas

A u odnosu na središte D stranice BC, dokazati da tačke O, M, N pripadajujednoj pravoj.343. Ako su P , Q, R tačke stranica BC, CA, AB trougla ABC takve da jeBP : P C = CQ : QA = AR : RB i P ′ tačka u kojoj se seku prave BC i P Q,dokazati da jeBP ′ : CP ′ = CP 2 : BP 2 .344. Ako su A ′ , B ′ , C ′ središta stranica BC, CA, CB, M presek duži AA ′ iBC ′ , a N presek pravih AB i CM, dokazati da jeAB = 3 · AN.345. Ako su M i N tačke na stranicama AB i AC trougla ABC takve da jeAM = AN a D ′ tačka u kojoj težišna linija AD trougla seče duž MN, dokazatida jeMD ′ : D ′ N = AC : AB.346. Ako su P , Q, R tačke u kojima neka prava seče prave odre - dene stranicamaBC, CA, AB trougla ABC, dokazati da njima simetrične tačke P ′ , Q ′ , R ′ uodnosu na središta stranica BC, CA, AB pripadaju jednoj pravoj.347. Ako dve prave s i s ′ seku prave odre - dene stranicama BC, CA, CB trouglaABC u tačkama P , Q, R i P ′ , Q ′ , R ′ , dokazati da presečne tačke X, Y, Z pravihBC i QR ′ , CA i RP ′ , AB i P Q ′ pripadaju jednoj pravoj.348. Ako je O proizvoljna tačka ravni trougla ABC, dokazati da tačke P , Q,R u kojima upravne u tački O na dužima OA, OB, OC seku respektivno praveBC, CA, AB pripadaju jednoj pravoj.349. Ako su AD i AE težišna linija i simetrala ugla A trougla ABC, a P , Q,R upravne projekcije proizvoljne tačke M prave AE na pravama BC, CA, AB,dokazati da se prave AD, MP, QR seku u jednoj tački.350. Ako je ABCD proizvoljan četvorougao, E tačka u kojoj se seku prave ABi CD, F tačka u kojoj se seku prave BC i DA, dokazati da središta P , Q, Rduži AC, BD, EF pripadaju jednoj pravoj.351. Ako je ABCD ravan četvorougao, E presečna tačka pravih AB i CD, Fpresečna tačka pravih BC i AD, A ′ , B ′ , C ′ , D ′ tačke u kojima četiri uporedneprave kroz temena A, B, C, D seku pravu EF , dokazati da je1AA ′ + 1CC ′ = 1BB ′ + 1DD ′ .352. Ako obeležimo sa A, B, C, D četiri razne tačke neke prave p takve da jeAB = BC = CD, sa O proizvoljnu tačku izvan prave p i sa A ′ , B ′ , C ′ , D ′ tačkeu kojima neka prava p ′ koja ne sadrži tačku O seče prave OA, OB, OC, OD,dokazati da jeAA ′A ′ O + DD′D ′ O = BB′B ′ O + CC′C ′ O .353. Ako su P 1 , . . . , P n tačke u kojima neka prava p seče prave odre - dene stranicamaA 1 A 2 , . . . , A n A 1 n-tougla A 1 . . . A n , dokazati da jeA 1 P 1P 1 A 2· A2P 2P 2 A 3. . . A nP nP n A 1= (−1) n .38