postavka zadataka u pdf formatu - 663KB - Alas

320. Ako je O proizvoljna tačka ravni trougla ABC a A ′ , B ′ , C ′ podnožjaupravnih kroz O na pravama BC, CA, AB, dokazati da se normale kroz temenaA, B, C na pravama B ′ C ′ , C ′ A ′ , A ′ B ′ seku u jednoj tački.321. Ako su A ′ , B ′ , C ′ upravne projekcije temena A, B, C trougla ABC nanekoj pravoj p, dokazati da se prave kroz tačke A ′ , B ′ , C ′ upravne na pravamaBC, CA, AB seku u izvesnoj tački P , ortopolu prave p u odnosu na trougaoABC.322. Dva trougla ABC i A ′ B ′ C ′ pripadaju istoj ravni. Ako se upravne kroztačke A, B, C na pravama B ′ C ′ , C ′ A ′ , A ′ B ′ seku u jednoj tački, dokazati dase i upravne tačke A ′ , B ′ , C ′ na pravama BC, CA, AB tako - de seku u jednojtački.4.4. Čevijeva teorema i njena primena323. (Giovanni Ceva) Ako su P , Q, R tačke pravih koje su odredene - stranicamaBC, CA, AB trougla ABC, dokazati da se prave AP, BQ, CR seku u jednojtački ako i samo ako jeBPP C · CQQA · ARRB = 1.324. Primenom Čevijeve teoreme dokazati da se(a) težišne linije trougla seku u jednoj tački;(b) prave odredene - visinama trougla seku u jednoj tački;(v)simetrale unutrašnjih uglova trougla seku u jednoj tački;(g) simetrale jednog unutrašnjeg ugla i simetrale dva spoljašnja ugla koddruga dva temena trougla seku u jednoj tački.325. Ako su P, Q, R tačke u kojima krug upisan u trougao △ABC dodirujestranice BC, CA, CB, dokazati da se prave AP, BQ, CR seku u jednoj tački(Žergonova teorema).326. Ako su P a , Q a , R a tačke u kojima krug upisan u trougao △ABC dodirujestranicu BC i produženja stranica CA i AB, dokazati da se prave AP a , BQ a , CR aseku u jednoj tački.327. Ako su P a , Q b , R c tačke u kojima spolja upisani krugovi trougla △ABCdodiruju stranice BC, CA, AB dokazati da se prave AP a , BQ b , CR c seku u jednojtački.328. Neka je △ABC proizvoljan trougao i k krug koji seče prave BC, CA, ABu tačkama P i P ′ , Q i Q ′ , R i R ′ . Ako se pri tome prave AP, BQ, CR seku ujednoj tački, dokazati da se i prave AP ′ , BQ ′ , CR ′ tako - de seku u jednoj tački.329. Dokazati da se prave od kojih svaka sadrži po jedno teme trougla i razlažeobim tog trougla na dva jednaka dela, seku u jednoj tački.330. Ako je P središte stranice BC trougla ABC i ako su Q i R tačke u kojimaneka prava uporedna sa stranicom BC seče prave AC i AB, dokazati da se praveAP , BQ, CR seku u jednoj tački.331. Neka je △ABC proizvoljan trougao i neka su P , Q, R tačke pravih BC,CA, AB takve da se prave AP , BQ, CR seku u jednoj tački. Ako su A ′ , B ′ ,C ′ središta duži AP , BQ, CR, dokazati da se prave A ′ P ′ , B ′ Q ′ , C ′ R ′ seku ujednoj tački.36