postavka zadataka u pdf formatu - 663KB - Alas

;;.(a)(b)(v)HS 2 = 4r 2 + 4rϱ + 3ϱ 2 − p 2HS 2 a = 4r 2 + 4rϱ + ϱ 2 + 2ϱ 2 a − p 2HS 2 + HS 2 a + HS 2 b + HS 2 c = 48r 2 − 4(a 2 + b 2 + c 2 )312. Ako je O 1 središte Ojlerovog kruga, H ortocentar i r poluprečnik opisanogkruga trougla ABC, dokazati da je(a);.(b)O 1 A 2 + O 1 B 2 + O 1 C 2 = 1 4 (3r2 + a 2 + b 2 + c 2 )O 1 A 2 + O 1 B 2 + O 1 C 2 + O 1 H 3 = 3r 24.3. Karnoova teorema i njena primena313. (L. Carnot) Ako su P , Q, R, tačke pravih koje su odre - dene stranicamaBC, CA, AB trougla ABC, dokazati da se prave upravne u tačkama P , Q, Rna pravama BC, CA, AB seku u jednoj tački ako i samo ako jeBP 2 − P C 2 + CQ 2 − QA 2 + AR 2 − RB 2 = 0.314. Ako obeležimo sa O proizvoljnu tačku koja se nalazi u ravni poligonaA 1 , . . . , A n i sa P 1 , . . . , P n podnožja upravnih iz tačke O na pravama A 1 A 2 , . . . , A n A 1 ,dokazati da jeA 1 P 2 1 + A 2 P 2 2 + . . . + A n P 2 n = P 1 A 2 2 + P 2 A 2 3 + . . . + P n A 2 1.315. Primenom Karnoove teoreme dokazati da se simetrale stranica trouglaseku u jednoj tački.316. Primenom Karnoove teoreme dokazati da se prave odre - dene visinamatrougla seku u jednoj tački, ortocentru tog trougla.317. Dokazati da se normale kroz središta spolja upisanih krugova trougla naodgovarajućim stranicama seku u jednoj tački.318. Od tri kruga kojima središta nisu na jednoj pravoj svaka dva kruga seseku. Dokazati da se prave odre - dene zajedničkim tetivama tih krugova seku ujednoj tački, radikalnom središtu tih krugova.319. Ako su A ′ , B ′ , C ′ ponožja visina iz temena A, B, C trougla ABC, dokazatida se normale kroz temena A, B, C na pravama B ′ C ′ , C ′ A ′ , A ′ B ′ seku u jednojtački,središtu O kruga opisanog oko trougla ABC.35