postavka zadataka u pdf formatu - 663KB - Alas

299. Ako su r i ϱ a poluprečnik opisanog kruga i poluprečnik upisanog krugakoji odgovara stranici BC trougla ABC, a M i N tačke pravih AB i AC takveda je A − B − M i MB = NC = BC = a, dokazati da jeMN 2 = a2r · (r + 2 · ϱ a).300. Ako su B ′ i C ′ podnožja upravnih iz temena B i C na simetrali unutrašnjegugla A trougla ABC, dokazati da je√ √c bBB ′ =b · (p − b) · (p − c) i CC′ = · (p − b) · (p − c).c301. Ako su a i c osnovice, b i d kraci, e i f dijagonale trapeza, dokazati da jee 2 = ac + ad2 − cb 2a − ci f 2 = ac + ab2 − cd 2.a − c302. Odrediti skup svih tačaka P za koje je m · AP 2 + n · BP 2 = l 2 gde su A iB date tačke, m i n dati brojevi i l data duž.303. Neka je O središte i r poluprečnik kruga k, a A tačka u njegovoj ravni id duž jednaka duži OA. Ako su M i N promenljive tačke kruga k takve da jeugao ∠MAN prav:(a) dokazati da je skup svih središta svih tetiva MN kruga k tako - de krugl kome se središte poklapa sa središtem duži OA, a poluprečnik je jednak duži12√2r2 − d 2 ;(b) dokazati da je skup svih presečnih tačaka dirki kruga k u tačkama M iN tako - de izvestan krug l 1 koji je homotetičan s krugom l u odnosu na tačku O.304. Ako je ABCD tangentan i tetivan četvorougao, r poluprečnik opisanogkruga, ϱ poluprečnik upisanog kruga i d duž koja spaja središta tih krugova,dokazati da je1(r + d) 2 + 1(r − d) 2 = 1 ϱ 2 .4.2. Lajbnicova teorema i njena primena305. (G.W. Leibnitz) Ako je T težište trougla △ABC i P proizvoljna tačka,dokazati da jeP A 2 + P B 2 + P C 2 = T A 2 + T B 2 + T C 2 + 3P T 2 .306. Ako je T težište četvorougla ABCD i P proizvoljna tačka, dokazati da jeP A 2 + P B 2 + P C 2 + P D 2 = T A 2 + T B 2 + T C 2 + T D 2 + 4P T 2 .307. Ako je ABCD tetivan četvorougao sa upravnim dijagonalama, a r poluprečnikopisanog kruga dokazati da jeAB 2 + CD 2 = BC 2 + AD 2 = 4r 2 .33